作业帮请详细解答，不要省略任何一步
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/18 09:37:23
在平面直角坐标系xOy中，关于y轴对称的抛物线y=-（m-1）/3 *x²+（m-2）x+4m-7与x轴交于A，B两点（点A再点B的左侧），与y轴交于点C，P是这条抛物线上的一点（点P不在坐标轴上），且点P关于直线BC的对称点在X轴上，D（0,3）是y轴上的一点。 （1）求抛物线的解析式及点P的坐标； （2）若E，F是y轴负半轴上的两个动点（点E在点F的上面），且EF=2，当四边形PBEF的周长最小时，求点E，F的坐标； （3）若Q是线段AC上一点，且S△COQ=2S△AOQ，M是直线DQ上的一个动点，在x轴上方的平面内存在一点N，使得以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形，请直接写出点N的坐标。
解题思路： 一元二次方程
解题过程：
（1）本题需先根据已知条件求出抛物线的解析式，再根据A、B两点求出∠OBC的度数和∠OBD的度数，再证出直线BD与x轴关于直线BC对称，再设直线BD的解析式为y=kx+b，再把各点代入，最后求出结果即可．
（2）本题可先过点P作PG⊥x轴于G，在PG上截取PH=2，证出四边形PHEF为平行四边形得出HE=PF，再根据已有的条件证出Rt△AOE∽Rt△AGH，最后即可求出点E、F的坐标．
（3）本题根据已有的条件，再结合图形，可以直接写出点N的坐标． 解：（1）∵抛物线y＝− （m-1）/3x2+（m-2）x+4m-7关于y轴对称，
∴m-2=0．
∴m=2．
∴抛物线的解析式是y=- 1/3x2+1
令y=0，得x=±跟下3 ∴A（- 跟下3，0），B（跟下3，0）
在Rt△BOC中，OC=1，OB= 跟下3，可得∠OBC=30°．
在Rt△BOD中，OD=3，OB= 跟下3，可得∠OBD=60°．
∴BC是∠OBD的角平分线．
∴直线BD与x轴关于直线BC对称．
因为点P关于直线BC的对称点在x轴上，
则符合条件的点P就是直线BD与抛物线y=- 1/3x2+1的交点．
设直线BD的解析式为y=kx+b．
∴跟下3k+b=0 b＝3
k=-跟下3 b=3 ∴直线BD的解析式为y＝− 跟下3+3∵点P在直线BD上，设P点坐标为(x，− 跟下3x+3)
又因为点P在抛物线y=- 1/3x2+1上，
∴− 跟下3x+3=- 1/3x2+1
∴x1＝跟下3 ，x2＝2跟下3 ．
∴y1=0，y2=-3
∴点P的坐标是(2 跟下3，−3)．
（2）过点P作PG⊥x轴于G，在PG上截取PH=2，连接AH与y轴交于点E，在y轴的负半轴上截取EF=2．
∵PH∥EF，PH=EF，
∴四边形PHEF为平行四边形，有HE=PF．
又∵PB、EF的长为定值，
∴此时得到的点E、F使四边形PBEF的周长最小．
∵OE∥GH，
∴Rt△AOE∽Rt△AGH．
∴ OE/GH＝AO/AG．
∴OE=跟下3/3跟下3=1/3 ．
∴OF=OE+EF= 1/3+2=7/3 ．
∴点E的坐标为（0，- -1/3），点F的坐标为（0，- 7/3）．
（3）点N的坐标是N1( 3/8跟下3，3/2）或N2(3/19跟下57，12/19跟下19）或N3(− 24/19跟下3，18/19）
最终答案：略
解题过程：
（1）本题需先根据已知条件求出抛物线的解析式，再根据A、B两点求出∠OBC的度数和∠OBD的度数，再证出直线BD与x轴关于直线BC对称，再设直线BD的解析式为y=kx+b，再把各点代入，最后求出结果即可．
（2）本题可先过点P作PG⊥x轴于G，在PG上截取PH=2，证出四边形PHEF为平行四边形得出HE=PF，再根据已有的条件证出Rt△AOE∽Rt△AGH，最后即可求出点E、F的坐标．
（3）本题根据已有的条件，再结合图形，可以直接写出点N的坐标． 解：（1）∵抛物线y＝− （m-1）/3x2+（m-2）x+4m-7关于y轴对称，
∴m-2=0．
∴m=2．
∴抛物线的解析式是y=- 1/3x2+1
令y=0，得x=±跟下3 ∴A（- 跟下3，0），B（跟下3，0）
在Rt△BOC中，OC=1，OB= 跟下3，可得∠OBC=30°．
在Rt△BOD中，OD=3，OB= 跟下3，可得∠OBD=60°．
∴BC是∠OBD的角平分线．
∴直线BD与x轴关于直线BC对称．
因为点P关于直线BC的对称点在x轴上，
则符合条件的点P就是直线BD与抛物线y=- 1/3x2+1的交点．
设直线BD的解析式为y=kx+b．
∴跟下3k+b=0 b＝3
k=-跟下3 b=3 ∴直线BD的解析式为y＝− 跟下3+3∵点P在直线BD上，设P点坐标为(x，− 跟下3x+3)
又因为点P在抛物线y=- 1/3x2+1上，
∴− 跟下3x+3=- 1/3x2+1
∴x1＝跟下3 ，x2＝2跟下3 ．
∴y1=0，y2=-3
∴点P的坐标是(2 跟下3，−3)．
（2）过点P作PG⊥x轴于G，在PG上截取PH=2，连接AH与y轴交于点E，在y轴的负半轴上截取EF=2．
∵PH∥EF，PH=EF，
∴四边形PHEF为平行四边形，有HE=PF．
又∵PB、EF的长为定值，
∴此时得到的点E、F使四边形PBEF的周长最小．
∵OE∥GH，
∴Rt△AOE∽Rt△AGH．
∴ OE/GH＝AO/AG．
∴OE=跟下3/3跟下3=1/3 ．
∴OF=OE+EF= 1/3+2=7/3 ．
∴点E的坐标为（0，- -1/3），点F的坐标为（0，- 7/3）．
（3）点N的坐标是N1( 3/8跟下3，3/2）或N2(3/19跟下57，12/19跟下19）或N3(− 24/19跟下3，18/19）
最终答案：略