（2006•惠州一模）某科学研究完成了下面的两个实验：

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：综合作业时间：2024/05/29 04:13:52

（2006•惠州一模）某科学研究完成了下面的两个实验：
（1）当飞船停留在距X星球一定高度的P点时正对着X星球发射一个激光脉冲，经过时间t₁后收到返回来的信号，此时观察X星球的视角为θ，如图所示．
（2）当飞船在X星球表面着陆后，把一个弹射器固定在星球的表面上，竖直向上弹射一个小球，经测定小球从弹射到落回的时间为t₂．已知用上述弹射器在地球上做同样的实验时，小球在空中运动的时间为t，又已知地球表面的重力加速度为g，万有引力常量G，光速为c，地球和X星球的自转以及它们对物体的大气阻力均可不计，试根据以上信息，求：
①X星球的半径R；
②X星球的平均密度ρ
③X星球的第一宇宙速度V；
④在X星球发射的卫星的最小周期T．

①飞船停留在距X星球一定高度的P点时正对着X星球发射一个激光脉冲，经过时间t₁后收到返回来的信号，则P点到星球表面的最短距离为：
1
2ct1．
根据几何图形，由直角三角形的知识可得
R
(R+
1
2ct1)＝sin
θ
2
即：(R+
1
2ct1)sin
θ
2=R
解得：R＝
ct1sin
θ
2
2(1−sin
θ
2)
②根据竖直上抛的特点：
在X星球上以v₀初速度竖直上抛时，t2＝
2v0
g0
在地球上以v₀初速度竖直上抛时，t＝
2v0
g
∴g0＝
t
t2g，
又由在星球表面上的物体受到的重力等于万有引力G
Mm
R2＝mg0
所以M＝
R2g0
G，
而该星球的体积为V=
4
3πR3
故ρ=
M
V=
3g0
4πGR=
3tg(1−sin
θ
2)
2πGct1t2sin
θ
2
③第一宇宙速度就是贴近星球表面飞行时的线速度，此时重力等于万有引力，
根据万有引力提供向心力mg0＝m
v2
R
∴v＝
Rg0
把R和g0＝
t
t2g的值代入得：
v＝

gctt1sin
θ
2
2t2(1−sin
θ
2)
④当以第一宇宙速度v运行，卫星有最小周期T
T＝
2πR
v＝π

2ct1t2sin
θ
2
gt(1−sin
θ
2)
答：①X星球的半径R为
ct1sin
θ
2
2(1−sin
θ
2)；
②X星球的平均密度ρ为
3tg(1−sin
θ
2)
2πGct1t2sin
θ
2
③X星球的第一宇宙速度V为

gctt1sin
θ
2
2t2(1−sin
θ
2)；
④在X星球发射的卫星的最小周期T为π

2ct1t2sin
θ
2
gt(1−sin
θ
2)．

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