(a+b+c)^9展开式中,a^2·b^3·c^4的系数是多少,为什么组合出来就是它的系数?

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/22 05:42:17

引理：(a1+a2+...+ak)^n的展开式中a1^n1*a2^n2*...*ak^nk项（n1+n2+...+nk=n）的系数是n!/(n1!*n2!*...*nk!).
证明：对k用归纳法：
k=1时显然.
假设对k成立,要证对k+1成立.注意到
(a1+a2+...+a{k-1}+ak+a{k+1})^n=(a1+a2+...+a{k-1}+(ak+a{k+1}))^n.
把ak+a{k+1}看成一项,则由归纳假设知展开式中a1^n1*a2^n2*...*a{k-1}^n{k-1}*(ak+a{k+1})^nk项（n1+n2+...+nk=n）的系数是n!/(n1!*n2!*...*n{k-1}!*nk!).
再由二项式定理,(ak+a{k+1})^nk展开式中ak^mk*a{k+1}^m{k+1}项（mk+m{k+1}=nk）的系数是(nk取mk)=nk!/(mk!*m{k+1}!).
所以(a1+a2+...+a{k-1}+ak+a{k+1})^n的展开式中a1^n1*a2^n2*...*a{k-1}^n{k-1}*ak^mk*a{k+1}^m{k+1}项（n1+n2+...+n{k-1}+mk+m{k+1}=n）的系数是
[n!/(n1!*n2!*...*n{k-1}!*nk!)]*[nk!/(mk!*m{k+1}!)]
=n!/(n1!*n2!*...*n{k-1}!*mk!*m{k+1}!).
证毕.
所以所求系数=9!/(2!*3!*4!)=1260

数学二项式系数4．若的展开式中各项系数之和为1024,则展开式中含x的整数次幂的项共有（）A．2项 B．3项 C．5 （a+b)^7的展开式中第五项系数是多少?（x-6^(1/2))^n的展开式中第三项系数等于6,则n=多少? 如果（a+b)的2n次方展开式中第5项的系数与第13项的系数相等,求展开式里系数最大的项已知[(a-2 b)的n次方]的展开式中第4项二项式系数为最大,则展开式各项系数和为 (a+b)^n的展开式中第11、12项的系数最大,则n等于（） A、21 B、20 C、19 D、18 (a+b)^n1.二次项展开式的通项公式是什么2展开式中二项式系数是1T（k+1）=C（n,k)a^(n-k)b^k2 不对帮我改正(a+b)^n 1.二次项展开式的通项公式是什么 2展开式中二项式系数是 1T（k+1）=C（n,k)a^ 已知a,b为常数,b>a>0,且a,-√3/2,b成等比数列,若(a+bx)^6的展开式中所有项的系数【大纲卷】第5题^8的展开式中x^6的系数是A 28B 56C 112D 224 求“（a+b）的8次方”的展开式中二项式系数中最大的项求“（a+b）的9次方”的展开式二项式（1+x）^n的展开式中,奇数项系数之和为A,偶数项系数之和为B,则A^2-B^2等于? b>a>0,且a -根号3/2,b城等比数列.（a+bx)^6的展开式中所有项的系数和为64,a=?