作业帮尽量用几何证明
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/10 04:49:50
ABHI为圆O上四点，AH.BI交于点M，过M作ME垂直BH，MF垂直AI，D为AB中点，G为IH中点，求证DF=DE,GE=GF
解题思路： 取AM、BM的中点，利用中位线性质、直角三角形的中线性质，构造（证明）三角形全等.得到AE＝DF.
解题过程：
A、B、H、I为圆O上四点，AH与BI交于点M，过M作ME⊥BH于E，MF⊥AI于E，D为AB中点，G为IH中点， 求证：DF＝DE，GE＝GF．
【证明】：取AM的中点C，BM的中点K，连接DC、FC，DK、EK， ∵ D是AB的中点，由中位线性质得 DC //＝KM，DK //＝CM， ∵ MF⊥AF，ME⊥BE，由直角三角形中线性质得 CM＝FC，DC＝EK， ∴ DC＝EK， FC＝DK，……………………………………………………① 又 ∠DCA＝∠KMC＝∠BKD， 又 ∠ACF＝2∠AMF＝2(
－∠MAF)＝2(－∠HAI )， ∠BKE＝2∠BME＝2(－∠EBM)＝2(－∠HBI )， 而 ∠HAI＝∠HBI， ∴ ∠ACF＝∠BKE， ∴ ∠DCF＝∠DCA＋∠ACF＝∠BKD＋∠BKE＝∠EKD，………………② 由①②，得 △DCF ≌ △EKD， ∴ DF＝ED， 即 DE＝DF； 同理可证：GE＝GF．
解题过程：
A、B、H、I为圆O上四点，AH与BI交于点M，过M作ME⊥BH于E，MF⊥AI于E，D为AB中点，G为IH中点， 求证：DF＝DE，GE＝GF．
【证明】：取AM的中点C，BM的中点K，连接DC、FC，DK、EK， ∵ D是AB的中点，由中位线性质得 DC //＝KM，DK //＝CM， ∵ MF⊥AF，ME⊥BE，由直角三角形中线性质得 CM＝FC，DC＝EK， ∴ DC＝EK， FC＝DK，……………………………………………………① 又 ∠DCA＝∠KMC＝∠BKD， 又 ∠ACF＝2∠AMF＝2(－∠MAF)＝2(－∠HAI )， ∠BKE＝2∠BME＝2(－∠EBM)＝2(－∠HBI )， 而 ∠HAI＝∠HBI， ∴ ∠ACF＝∠BKE， ∴ ∠DCF＝∠DCA＋∠ACF＝∠BKD＋∠BKE＝∠EKD，………………② 由①②，得 △DCF ≌ △EKD， ∴ DF＝ED， 即 DE＝DF； 同理可证：GE＝GF．