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解题思路： 请填写破解该题的切入点、思路脉络及注意事项（20字以上），学生将对此进行打分生
解题过程：
解：方程组 2x+y=z-1 ①， 8x³+y³=z²-1 ②

根据①，可得 2x+y+2=z+1

所以z²-1=(z-1)(z+1)=(2x+y)(2x+y+2)

而8x³+y³=(2x+y)(4x²+y²-2xy)

所以(2x+y)(4x²+y²-2xy)=(2x+y)(2x+y+2)

即(2x+y)(4x²+y²-2xy-2x-y-2)=0。

（1）若2x+y=0，则代入①，得z=1，确实也满足②，所以有无穷多组（n，-2n，1）（n为整数），经验证符合条件。

（2）若2x+y≠0，则必须4x²+y²-2xy-2x-y-2=0，

消去xy交叉项，得3x²+(x-y)²-3x+(x-y)=2，

乘以4，得3(4x²-4x)+4(x-y)²+4(x-y)=8，

加4后配方，得3(2x-1)²+(2x-2y+1)²=12。

因为2x-1和2x-2y+1都是奇数，所以只能是3×1²+3²=12。 故正整数解仅有（1，3，6）一组。

最终答案：（1，3，6）