怎么证明任意3个数的算术平均数恒大于等于它们的几何平均数?

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/22 06:44:57

a=x^3 b=y^3 c=z^3
x^3+y^3+z^3-3xyz
=[( x+y)^3-3x^2y-3xy^2]+z^3-3xyz
=[(x+y)^3+z^3]-(3x^2y+3xy^2+3xyz)
=(x+y+z)[(x+y)^2-(x+y)z+z^2]-3xy(x+y+z)
=(x+y+z)(x^2+y^2+2xy-xz-yz+z^2)-3xy(x+y+z)
=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz)
=1/2（x+y+z）（（x-y）^2+（y-z）^2+（x-z）^2）
再问：怎么证明任意N(>3)个数的算术平均数恒大于等于它们的几何平均数？
再答：那就麻烦了，基本上得用幂平均不等式或者琴生不等式其实构造函数也行，也难再就是数学归纳法，反向归纳好一些

几何平均数与算术平均数的区别? 算术平均数与几何平均数的应用几何平均数,算术平均数,调和平均数,平方平均数的大小关系求证几何平均数、加权平均数、算术平均数、调和平均数的大小关系几何平均数和算术平均数的大小的公式推导关于{算术平均数与几何平均数}的一道练习题, 几个关于【算术平均数】与【几何平均数】的问题基本不等式的推广,几何平均数算术平均数调和平均数等各种平均数的大小关系,从abc三个数推广到n个数一条个数学概念和证明关于平均数的加权平均数,算数平均数,几何平均数,调和平均数分别是什么?如何证明这些平均数之间的大小? 几何平均数与算术平均数算术平均数与几何平均数算术平均数和几何平均数