作业帮一道数学题,关于抛物线
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/25 19:31:25
一道数学题,关于抛物线
已知P为抛物线C:y²=8x上一个动点,Q为圆M:x²+y²+2x-8y+16=0上一个动点,那么当点P到点Q的距离与点P到抛物线C准线的距离之和取得最小值时,P点坐标为多少
已知P为抛物线C:y²=8x上一个动点,Q为圆M:x²+y²+2x-8y+16=0上一个动点,那么当点P到点Q的距离与点P到抛物线C准线的距离之和取得最小值时,P点坐标为多少
如图：在抛物线上任取p' ,在圆上任取Q' ,连接圆心(-1, 4) 和焦点(2,0)的直线分别交圆于Q.交抛物线于P
由抛物线的定义得：点P到抛物线准线的距离等于点P到抛物线焦点(2,0)的距离.根据曲线大于直线的公理：如图,1+Q'P'+P'F>1+QP+PF, 即：Q'P'+P'F>QP+PF, 则P为所求.
设过点(-1, 4) 和(2,0)的直线方程为：y=kx+b 将两点代入得：k=-4/3, b=8/3
所以,直线QP方程：y=(-4/3)x+8/3
解方程y=(-4/3)x+8/3 和y²=8x 得：x=1/2, y=2
所以P点的坐标为:P(1/2, 2)
由抛物线的定义得：点P到抛物线准线的距离等于点P到抛物线焦点(2,0)的距离.根据曲线大于直线的公理：如图,1+Q'P'+P'F>1+QP+PF, 即：Q'P'+P'F>QP+PF, 则P为所求.
设过点(-1, 4) 和(2,0)的直线方程为：y=kx+b 将两点代入得：k=-4/3, b=8/3
所以,直线QP方程：y=(-4/3)x+8/3
解方程y=(-4/3)x+8/3 和y²=8x 得：x=1/2, y=2
所以P点的坐标为:P(1/2, 2)