求f(t)=∫(上下限1和0)=│x-t│dt在0≤t≤1的最大值和最小值
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/23 19:16:20
求f(t)=∫(上下限1和0)=│x-t│dt在0≤t≤1的最大值和最小值
答案是f(0)=f(1)=1/2是最大值,f(1/2)=1/4是最小值
答案是f(0)=f(1)=1/2是最大值,f(1/2)=1/4是最小值
ƒ(t) = ∫(0→1) |x - t| dx
= ∫(0→t) |x - t| dx + ∫(t→1) |x - t| dx
= ∫(0→t) (t - x) dx + ∫(t→1) (x - t) dx
= t² - t + 1/2
= (t - 1/2)² + 1/4、这里也可以用导数求法
最小值为ƒ(1/2) = 1/4
ƒ(0) = ƒ(1) = 1/2
最大值为1/2
—————————————————————————————
首先分析被积函数g(x) = |x - t|,是个分段函数,把t当是常数
当x∈[0,t]时,g(x) < 0,所以|x - t| = - (x - t) = t - x
当x∈[t,1]时,g(x) > 0,所以|x - t| = x - t
积分化简后就能找到ƒ(t)的表达式
由于ƒ(t)是二次函数,所以可以化为完全平方式来找得最大/最小值
如果是三次或以上的函数,建议用导数法寻找极大/极小值
令ƒ'(t) = 0找得极值t = t₁、t = t₂
ƒ''(t₁) > 0,取得极小值ƒ(t₁)
ƒ''(t₂) < 0,取得极大值ƒ(t₂)
然后代入端点值ƒ(0)、ƒ(1)与极值比较大小关系:
当ƒ(1) > ƒ(t₂)、则ƒ(1)为最大值
当ƒ(1) < ƒ(t₂)、则ƒ(t₂)为最大值
当ƒ(0) < ƒ(t₁)、则ƒ(0)为最小值
当ƒ(0) > ƒ(t₁)、则ƒ(t₁)为最小值
有时候极小值比极大值还大 或者 极大值比极小值还小,这点自行留意.
= ∫(0→t) |x - t| dx + ∫(t→1) |x - t| dx
= ∫(0→t) (t - x) dx + ∫(t→1) (x - t) dx
= t² - t + 1/2
= (t - 1/2)² + 1/4、这里也可以用导数求法
最小值为ƒ(1/2) = 1/4
ƒ(0) = ƒ(1) = 1/2
最大值为1/2
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首先分析被积函数g(x) = |x - t|,是个分段函数,把t当是常数
当x∈[0,t]时,g(x) < 0,所以|x - t| = - (x - t) = t - x
当x∈[t,1]时,g(x) > 0,所以|x - t| = x - t
积分化简后就能找到ƒ(t)的表达式
由于ƒ(t)是二次函数,所以可以化为完全平方式来找得最大/最小值
如果是三次或以上的函数,建议用导数法寻找极大/极小值
令ƒ'(t) = 0找得极值t = t₁、t = t₂
ƒ''(t₁) > 0,取得极小值ƒ(t₁)
ƒ''(t₂) < 0,取得极大值ƒ(t₂)
然后代入端点值ƒ(0)、ƒ(1)与极值比较大小关系:
当ƒ(1) > ƒ(t₂)、则ƒ(1)为最大值
当ƒ(1) < ƒ(t₂)、则ƒ(t₂)为最大值
当ƒ(0) < ƒ(t₁)、则ƒ(0)为最小值
当ƒ(0) > ƒ(t₁)、则ƒ(t₁)为最小值
有时候极小值比极大值还大 或者 极大值比极小值还小,这点自行留意.
求函数F(X)=积分号,积分上限为X,下限为0,t(t-4)dt在[-1,5]上的最大值和最小值.
求函数F(x)=∫(x,x+1)(4t^3-12t^2+8t+1)dt在区间[0,2]上的最大值与最小值
高数 定积分求:f(x)=(积分上限1,下限0,被积表达式为[(t-x)的绝对值dt]) 在区间[0,1]上的最大值和最
函数f(x)=∫(0,x) t(t-4)dt 在[-1,5]上的最大值是__,最小值是___
已知f(x)=x²+4x+3,求f(x)在区间[t,t+1]上的最小值g(t)和最大值h(t)
f(x)=x平方+4x+3求f(X)在区间[t,t+1]上的最小值g(t)和最大值h(t)
f为[0,1]上的可积函数 g(x)=积分f(t)/t dt(上限为1,下限为x) 证明在[0,1]上g(x)和f(x)
求函数f(x)=∫(上限x,下限0)(t+1)arctant dt 的极值
求使函数f(x)=∫(1+t)/(1+t^2)dt(上限x下限0)上凹的区间
设函数f(x)=tx+(1-x)/t(t>0),g(t)为f(x)在[0,1]上的最小值,求函数g(x)的最大值
设t∈R,求函数f(x)=(x-2)+3在区间[t,t+1]的最大值g(t)和最小值h(t)
已知f(x)=x-2∫f(t)dt 上限1 下限0 求f(x)