作业帮矩形内如何放置最多的正多边形?
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/23 20:20:58
矩形内如何放置最多的正多边形?
一个给定的长为L,宽为W的矩形内,放置面积相同的正三边形、正四边形、正六边形,不考虑各种多边形恰好契合矩形变长的情况,问哪个能放置最多?最好是能有公式证明!
一个给定的长为L,宽为W的矩形内,放置面积相同的正三边形、正四边形、正六边形,不考虑各种多边形恰好契合矩形变长的情况,问哪个能放置最多?最好是能有公式证明!
正三边形、正四边形和正六边形最多.
因为每一块的面积都相同,所以放置数目越多,说明覆盖率越高.正三边形、正四边形和正六边形最多,是因为他们可以严丝合缝地拼接起来,最大化覆盖率（不算边角的话,覆盖率接近100%,为最优解）.
至于为什么,只要算算内角就明白了.正n边形的每个内角为(n-2)/n*180度,如果要能严丝合缝地拼接,必须满足360度是该角度大小的整数倍（这样的话,顶点方能完美地拼接起来,不浪费面积）.
设正好k个内角能凑满360度,则可列方程(n-2)/n*180*k=360,得(n-2)k=2n,得
k=2n/(n-2)=2+4/(n-2).
k若为整数,必须满足4是n-2的倍数,4的约数只有1、2和4,因此n-2=1、2或4,得n=3、4或6.
仅有正三边形、正四边形和正六边形可完美覆盖平面,这不是巧合,是可以严格推导出来的.
再问： 这个我知道，所以我问的是 ， 在这三者之间，谁能使固定矩形中，剩余的面积最少（不好率恰好契合的情况），拜托啊。。 求解
再答： 这显然要看你矩形W和L以及正n边形边长的倍数关系，你不给具体数的话，我也不知道。。。都有可能的。
再问： 所以这就是难点所在。。如果您会编程的话用MATLAB应该能做出来。。。可是我不会啊 。。。哎 蛋疼啊。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。哭了
再答： 原来你要的是个算法，这可就非常复杂了，没那么容易，你查查文献吧。先平行着矩形的边放，然后再看看有没有其他办法。公式是不可能了，也就是算法逼近有可能。 你查查英文的文献，关于packing algorithm的，应该能有所得。比如查Erich's Packing Center，里面有不少例子，可以看出这问题的复杂程度。
因为每一块的面积都相同,所以放置数目越多,说明覆盖率越高.正三边形、正四边形和正六边形最多,是因为他们可以严丝合缝地拼接起来,最大化覆盖率（不算边角的话,覆盖率接近100%,为最优解）.
至于为什么,只要算算内角就明白了.正n边形的每个内角为(n-2)/n*180度,如果要能严丝合缝地拼接,必须满足360度是该角度大小的整数倍（这样的话,顶点方能完美地拼接起来,不浪费面积）.
设正好k个内角能凑满360度,则可列方程(n-2)/n*180*k=360,得(n-2)k=2n,得
k=2n/(n-2)=2+4/(n-2).
k若为整数,必须满足4是n-2的倍数,4的约数只有1、2和4,因此n-2=1、2或4,得n=3、4或6.
仅有正三边形、正四边形和正六边形可完美覆盖平面,这不是巧合,是可以严格推导出来的.
再问： 这个我知道，所以我问的是 ， 在这三者之间，谁能使固定矩形中，剩余的面积最少（不好率恰好契合的情况），拜托啊。。 求解
再答： 这显然要看你矩形W和L以及正n边形边长的倍数关系，你不给具体数的话，我也不知道。。。都有可能的。
再问： 所以这就是难点所在。。如果您会编程的话用MATLAB应该能做出来。。。可是我不会啊 。。。哎 蛋疼啊。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。哭了
再答： 原来你要的是个算法，这可就非常复杂了，没那么容易，你查查文献吧。先平行着矩形的边放，然后再看看有没有其他办法。公式是不可能了，也就是算法逼近有可能。 你查查英文的文献，关于packing algorithm的，应该能有所得。比如查Erich's Packing Center，里面有不少例子，可以看出这问题的复杂程度。