设f(x)是定义在R上以4为周期的偶函数,且在区间[4,6]上f(x)=2^x+1.
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/22 00:51:20
设f(x)是定义在R上以4为周期的偶函数,且在区间[4,6]上f(x)=2^x+1.
1)求f(x)在区间[-2,2]上的解析式和值域;
2)求f(x)在区间[4k-2,4k](k∈Z)上的反函数.
1)求f(x)在区间[-2,2]上的解析式和值域;
2)求f(x)在区间[4k-2,4k](k∈Z)上的反函数.
1.
∵周期为4
∴f(x)在[0,2]上的函数图像与[4,6]上的函数图象一样
即f(x)在[0,2]上的函数图像是由[4,6]上的函数图象向左平移4个单位
∴x∈[0,2]时,f(x)=2^(x+4) + 1
∵f(x)是偶函数
∴图像关于y轴对称
设点A(x,y)在f(x)上,x∈[-2,0]
∴-x∈[0,2]
A关于y轴的对称点B(-x,y)一定在f(x)的[0,2]一段上
代入得
y=2^(4-x) + 1
∴f(x)= 2^(x+4) + 1 0≤x≤2
2^(4-x) + 1 -2≤x<0
当0≤x≤2时,f(x)=2^(x+4) + 1=16×2^x +1,单调递增
∴f(0)≤f(x)≤f(2),即:17≤f(x)≤65
根据对称性,得
当-2≤x<0时,17<f(x)≤65
∴值域为[17,65]
2.
f(x)在[4k-2,4k]上的图像和f(x)在[-2,0]上的图像一样
即f(x)在[4k-2,4k]上的图像是由f(x)在[-2,0]上的图像向右平移4k个单位得到
∴当x∈[4k-2,4k]时,f(x)=2^[4-(x-4k)] + 1=2^(4k+4-x) +1
y=2^(4k+4-x) +1
y-1=2^(4k+4-x)
4k+4-x=log2(y-1)
x=4k+4-log2(y-1),17≤y≤65
∴f逆(x)=4k+4-log2(x-1),17≤x≤65
你再检查检查!
∵周期为4
∴f(x)在[0,2]上的函数图像与[4,6]上的函数图象一样
即f(x)在[0,2]上的函数图像是由[4,6]上的函数图象向左平移4个单位
∴x∈[0,2]时,f(x)=2^(x+4) + 1
∵f(x)是偶函数
∴图像关于y轴对称
设点A(x,y)在f(x)上,x∈[-2,0]
∴-x∈[0,2]
A关于y轴的对称点B(-x,y)一定在f(x)的[0,2]一段上
代入得
y=2^(4-x) + 1
∴f(x)= 2^(x+4) + 1 0≤x≤2
2^(4-x) + 1 -2≤x<0
当0≤x≤2时,f(x)=2^(x+4) + 1=16×2^x +1,单调递增
∴f(0)≤f(x)≤f(2),即:17≤f(x)≤65
根据对称性,得
当-2≤x<0时,17<f(x)≤65
∴值域为[17,65]
2.
f(x)在[4k-2,4k]上的图像和f(x)在[-2,0]上的图像一样
即f(x)在[4k-2,4k]上的图像是由f(x)在[-2,0]上的图像向右平移4k个单位得到
∴当x∈[4k-2,4k]时,f(x)=2^[4-(x-4k)] + 1=2^(4k+4-x) +1
y=2^(4k+4-x) +1
y-1=2^(4k+4-x)
4k+4-x=log2(y-1)
x=4k+4-log2(y-1),17≤y≤65
∴f逆(x)=4k+4-log2(x-1),17≤x≤65
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