作业帮等差数列an的倒数的级数发散
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/02 08:27:41
等差数列an的倒数的级数发散
当a(n)是常数列时,显然发散
当a(n)递增时,由于其为等差数列,由N+在R上无界可知,总存在N,使得对于任何的n>N,总有a(n)>0
以N为界,考虑nN两种情况
由于决定级数敛散性的是a(N)后面的无限项,因此可以把a(N)前的项以及a(N)忽略
以a(N+1)为首项,构造新数列A(n)=a(n+N),n是正整数,那么1/A(n)的敛散性与原级数相同
由于A(n)等差,所以可以设A(n)=kn+b(k>0),不妨令b=0,
则∑[1/A（n）]=(1/k)*(1+1/2+1/3+…+1/n+…+…）
与“调和级数”S=1+1/2+1/3+…+1/n+…+…敛散性相同
即与数列S(n)=1+1/2+…+1/n的敛散性相同
而级数 S=1 +1/2+ 1/3 +1/4+ 1/5+1/6+1/7+1/8 +1/9+…+1/n+…
>1/2+1/2+(1/4+1/4)+(1/8+1/8+1/8+1/8)+…+1/n+…
=1/2+1/2+1/2+…
可见,S可由无限个(1/2)组成,因而S发散,所以原级数发散
同理,当a(n)单调递减时也成立
当a(n)递增时,由于其为等差数列,由N+在R上无界可知,总存在N,使得对于任何的n>N,总有a(n)>0
以N为界,考虑nN两种情况
由于决定级数敛散性的是a(N)后面的无限项,因此可以把a(N)前的项以及a(N)忽略
以a(N+1)为首项,构造新数列A(n)=a(n+N),n是正整数,那么1/A(n)的敛散性与原级数相同
由于A(n)等差,所以可以设A(n)=kn+b(k>0),不妨令b=0,
则∑[1/A（n）]=(1/k)*(1+1/2+1/3+…+1/n+…+…）
与“调和级数”S=1+1/2+1/3+…+1/n+…+…敛散性相同
即与数列S(n)=1+1/2+…+1/n的敛散性相同
而级数 S=1 +1/2+ 1/3 +1/4+ 1/5+1/6+1/7+1/8 +1/9+…+1/n+…
>1/2+1/2+(1/4+1/4)+(1/8+1/8+1/8+1/8)+…+1/n+…
=1/2+1/2+1/2+…
可见,S可由无限个(1/2)组成,因而S发散,所以原级数发散
同理,当a(n)单调递减时也成立