已知定义在R上的函数f（x）=12（sinωx+acosωx）（a∈R，0＜ω≤1）满足：f（x）=f（π3-x），f（

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：综合作业时间：2024/05/15 14:44:40

已知定义在R上的函数f（x）=

（I）∵f（x）=
1
2（sinωx+acosωx）=

a2+1
2sin（ωx+ϕ），其中sinϕ=
a

a2+1，cosϕ=
1

a2+1，
由f（x-π）=f（x+π）知f（x）=f（x+2π），即函数f（x）的周期为2π．
∴
2π
|ω|≤2π，即|ω|≥1．又0＜ω≤1，∴ω=1．
又∵f（x）=f（
π
3-x），∴f（0）=f（
π
3），
即
1
2（sin0+acos0）=
1
2（sin
π
3+acos
π
3），解得 a=
3，∴f（x）=sin（x+
π
3）．
（II）显然，x∈（-
5π
6，
π
6）等价于x+
π
3∈（-
π
2，
π
2）．
令u=x+
π
3，f（x）=t，g（t）=t²+mt+n，则f（x）=sinu，
由|m|+|n|＜1得|m+n|≤|m|+|n|＜1，∴m+n＞-1．
同理由|m-n|≤|m|+|n|＜1得m-n＜1．
∴g（1）=m+n+1＞0，g（-1）=1-m+n＞0．
又∵|m|≤|m|+|n|＜1，∴-
m
2∈（-1，1）．
又∵△=m²-4n＞0，∴一元二次方程t²+mt+n=0在区间（-1，1）内有两个不等的实根．
∵函数y=sinu（u∈（-
π
2，
π
2））与u=x+
π
3（x∈（-
5π
6，
π
6））都是增函数，
∴[f（x）]²+mf（x）+n=0在区间（-
5π
6，
π
6）内有两个不等实根．
∴“|m|+|n|＜1”是“方程[f（x）]²+mf（x）+n=0在区间（-
5π
6，
π
6）内有两个不等实根”的充分条件．
令m=
5
6，n=
1
6，由于方程t²+
5
6t+
1
6=0有两个不等的实根-
1
3，-
1
2，且-
1
3，-
1
2∈（-1，1），
∴方程sin²（x+
π
3）+
5
6sin（x+
π
3）+
1
6=0在（-
5π
6，
π
6）内有两个不等的实根，
但|m|+|n|=
5
6+
1
6=1，
故“|m|+|n|＜1”不是“方程[f（x）]²+mf（x）+n=0在区间（-
5π
6，
π
6）内有两个不等实根”的必要条件．
综上，“|m|+|n|＜1”是“方程[f（x）]²+mf（x）+n=0在区间（-
5π
6，
π
6）内有两个不等实根”的充分不必要条件．