大学数学微分方程:(1-x^2)y'+xy=1,y(0)=1,求其特解.
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/16 19:56:23
大学数学微分方程:(1-x^2)y'+xy=1,y(0)=1,求其特解.
速求,急等!
速求,急等!
∵(1-x²)y'+xy=0 ==>dy/y=-xdx/(1-x²)
==>dy/y=(1/2)d(1-x²)/(1-x²)
==>ln│y│=(1/2)ln│1-x²│+ln│C│ (C是积分常数)
==>y=C√(1-x²)
∴齐次方程(1-x²)y'+xy=0的通解是y=C√(1-x²) (C是积分常数)
于是,设微分方程(1-x²)y'+xy=1的解为 y=C(x)√(1-x²) (C(x)是关于x的函数)
∵y'=C'(x)√(1-x²)-C(x)x/√(1-x²)
代入原方程得C'(x)=1/√(1-x²)³
∴C(x)=∫dx/√(1-x²)³
=∫costdt/cos³t (设x=sint,则tant=x/√(1-x²)
=-∫dt/cos²t
=-∫sec³tdt
=tant+C (C是积分常数)
=x/√(1-x²)+C
∴y=[x/√(1-x²)+C]√(1-x²)
=x+C√(1-x²)
∵y(0)=1 ==>C=1
故原微分方程的解是 y=x+√(1-x²)
==>dy/y=(1/2)d(1-x²)/(1-x²)
==>ln│y│=(1/2)ln│1-x²│+ln│C│ (C是积分常数)
==>y=C√(1-x²)
∴齐次方程(1-x²)y'+xy=0的通解是y=C√(1-x²) (C是积分常数)
于是,设微分方程(1-x²)y'+xy=1的解为 y=C(x)√(1-x²) (C(x)是关于x的函数)
∵y'=C'(x)√(1-x²)-C(x)x/√(1-x²)
代入原方程得C'(x)=1/√(1-x²)³
∴C(x)=∫dx/√(1-x²)³
=∫costdt/cos³t (设x=sint,则tant=x/√(1-x²)
=-∫dt/cos²t
=-∫sec³tdt
=tant+C (C是积分常数)
=x/√(1-x²)+C
∴y=[x/√(1-x²)+C]√(1-x²)
=x+C√(1-x²)
∵y(0)=1 ==>C=1
故原微分方程的解是 y=x+√(1-x²)
大学数学微分方程:(1-x^2)y'+xy=1,y(0)=1,求其特解.
微分方程dy/dx=xy/y^2-x^2 ,当x=0,y=1的特解
求微分方程x^2y撇+xy=y^3满足初始条件y(1)=1的特解
y'=e^(y-2x),y丨x=0 =1 微分方程特解
求微分方程的特解x^2y''+xy'=1,y|(x=1)=0,y'|(x=1)=1
求解微分方程dy/dx=2xy,满足初始条件:x=0,y=1的特解
求微分方程dy/dx+2xy=4x,满足条件y(0)=1的特解
求微分方程xy’+x+y=0满足初始条件y(1)=0的特解
求微分方程xy'+y+xe^x=0满足初始条件y(1)=0的特解
求微分方程dy/dx=2xy满足y(0)=1的特解
解微分方程 (y')^2+xy'+x-1=0
求微分方程xy'+(1-x)y=xe^2,x趋于0时y(x)的极限为1的特解