作业帮一道高一直线与圆的关系的数学题
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/11 18:43:26
一道高一直线与圆的关系的数学题
直线√2 a x + b y = 1与圆x^2+y^2=1相交于A,B两点（其中a,b为实数）,且三角形OAB是直角三角形（O是坐标原点）,则点P（a,b）与点（0,1）之间距离的最大值为
直线√2 a x + b y = 1与圆x^2+y^2=1相交于A,B两点（其中a,b为实数）,且三角形OAB是直角三角形（O是坐标原点）,则点P（a,b）与点（0,1）之间距离的最大值为
由题意知△AOB是等腰直角三角形(|OA|=|OB=1) 由已知易得|AB|=√2
原点O到直线AB的距离恒为√2/2
故得 1/√（2a²+b²）=√2/2
整理即 2a²+b²=2 亦即a²=1-b²/2
点P（a,b）与点（0,1）之间距离的平方D²=a²+(b-1)²=1-b²/2+(b-1)²=(b-2)²/2
由a²=1-b²/2≥0得-√2≤b≤√2
D²=(b-2)²/2 (-√2≤b≤√2)
所以当b=-√2时 D²取得最大值(√2+2)²/2 即距离取得最大值√2+1
解毕.
原点O到直线AB的距离恒为√2/2
故得 1/√（2a²+b²）=√2/2
整理即 2a²+b²=2 亦即a²=1-b²/2
点P（a,b）与点（0,1）之间距离的平方D²=a²+(b-1)²=1-b²/2+(b-1)²=(b-2)²/2
由a²=1-b²/2≥0得-√2≤b≤√2
D²=(b-2)²/2 (-√2≤b≤√2)
所以当b=-√2时 D²取得最大值(√2+2)²/2 即距离取得最大值√2+1
解毕.