作业帮高代对偶映射证明：φ是单射等价于φ*满射.
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/19 16:45:17
高代对偶映射证明：φ是单射等价于φ*满射.
设U,V均为有限维线性空间.φ是U到V的映射,φ*是φ的对偶映射.证明：
φ是单射等价于φ*满射.
设U,V均为有限维线性空间.φ是U到V的映射,φ*是φ的对偶映射.证明：
φ是单射等价于φ*满射.
证明大意是这样的.
设U,V的维数分别为m,n,分别取U,V的一组基:ε1,...,εm,与η1,...,ηn.
设φ:U → V在这组基下的矩阵设为A,可知A是一个n×m矩阵.
在U*,V*中存在相应的对偶基:ε1*,...,εm*,与η1*,...,ηn*.
可证明φ*:V* → U*在对偶基下的矩阵恰为A的转置A'.
φ是单射等价于AX = 0只有零解,等价于A的列向量线性无关,等价于A是列满秩矩阵,即r(A) = m.
而φ*是满射等价于A'Y = Z对任意Z有解,等价于A'的列向量可以张成整个m维向量空间,
等价于r(A') = m.
而r(A) = m当然等价于r(A') = m,故φ是单射等价于φ*是满射.
设U,V的维数分别为m,n,分别取U,V的一组基:ε1,...,εm,与η1,...,ηn.
设φ:U → V在这组基下的矩阵设为A,可知A是一个n×m矩阵.
在U*,V*中存在相应的对偶基:ε1*,...,εm*,与η1*,...,ηn*.
可证明φ*:V* → U*在对偶基下的矩阵恰为A的转置A'.
φ是单射等价于AX = 0只有零解,等价于A的列向量线性无关,等价于A是列满秩矩阵,即r(A) = m.
而φ*是满射等价于A'Y = Z对任意Z有解,等价于A'的列向量可以张成整个m维向量空间,
等价于r(A') = m.
而r(A) = m当然等价于r(A') = m,故φ是单射等价于φ*是满射.