作业帮请教一个矩阵的不等式问题
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/06/11 18:19:48
请教一个矩阵的不等式问题
其中L为拉普拉斯矩阵,请问这个不等式成立吗?或者成立的条件?
请懂得矩阵论的同学和老师帮忙解答啊！
其中L为拉普拉斯矩阵,请问这个不等式成立吗?或者成立的条件?请懂得矩阵论的同学和老师帮忙解答啊！
x^TLe=(x^TLe)^T=e^TLx (拉普拉斯矩阵是对称的)
x^TLe=(1/2)x^TLe+(1/2)e^TLx
(1/2)x^TLx+(1/2)e^TLe-x^TLe
=(1/2)x^TLx-(1/2)x^TLe+(1/2)e^TLe-(1/2)e^TLx
=(1/2)(x-e)^TL(x-e)≥0
∴(1/2)x^TLx+(1/2)e^TLe ≥ x^TLe
再问： L不一定是对称的啊，如果是有向图的画就不对称，不对称的话还有这个结论吗？
再答： 拉普拉斯矩阵是对称的: http://en.wikipedia.org/wiki/Laplacian_matrix 不对称的话, 没有这个结论.
x^TLe=(1/2)x^TLe+(1/2)e^TLx
(1/2)x^TLx+(1/2)e^TLe-x^TLe
=(1/2)x^TLx-(1/2)x^TLe+(1/2)e^TLe-(1/2)e^TLx
=(1/2)(x-e)^TL(x-e)≥0
∴(1/2)x^TLx+(1/2)e^TLe ≥ x^TLe
再问： L不一定是对称的啊，如果是有向图的画就不对称，不对称的话还有这个结论吗？
再答： 拉普拉斯矩阵是对称的: http://en.wikipedia.org/wiki/Laplacian_matrix 不对称的话, 没有这个结论.