在任意ΔABC中,A,B,C表示其内角,证明与否定:

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/17 04:27:17

在任意ΔABC中,A,B,C表示其内角,证明与否定:
(cosA)^5+(cosB)^5+(cosC)^5≥3/32.

成立且可推广.下面给出一个初等方法给出推广
在任意ΔABC中,A,B,C表示其内角,n∈N,n>1,则
(cosA)^(2n+1)+(cosB)^(2n+1)+(cosC)^(2n+1)≥3/2^(2n+1).(1)
首先给出两个引理:
引理1 己知x≥0,y≥0,对任意正整数n总有
x^n+(n-1)y^n≥nx*y^(n-1) (2)
(2)式等价于,此时y>0
x^n/y^(n-1)≥nx-(n-1)y (3)
引理2 在任意ΔABC中,有
(cosA)^3+(cosB)^3+(cosC)^3≥3/8.(4)
cosA+cosB+cosC)=1+r/R.(5)
下面根据引理中不等式(3),(4),(5)来推导不等式(1).
证明当ΔABC为锐角三角形时
(cosA)^(2n+1)+(cosB)^(2n+1)+(cosC)^(2n+1)
=(1/4)^(n-1)*{cosA*[(cosA)^2]^n/(1/4)^(n-1)+cosB*[(cosB)^2]^n/(1/4)^(n-1)+cosC*[(cosC)^2]^n/(1/4)^(n-1)}
≥(1/4)^(n-1)*{cosA*[n(cosA)^2-(n-1)/4]+cosB*[n(cosB)^2-(n-1)/4]+cosC[n(cosC)^2-(n-1)/4]}
=(1/4)^(n-1)*{n[(cosA)^3+(cosB)^3+(cosC)^3]-(n-1)*(cosA+cosB+cosC)/4}
≥(1/4)^(n-1)*[3n/8-(n-1)*(1+r/R)/4]
≥(1/4)^(n-1)*[3n/8-3(n-1)/8].用到欧拉不等式 .
=3/[8*(1/4)^(n-1)]=3/2^(2n+1)
当ΔABC为非锐角三角形时,不妨设C≥π/2,B≥A,则
π/4≥A>0,π>B+C>π/2.
所以 cosA≥√(1/2),cosB>-cosC,
(2cosA)^(2n+1)≥(√2)^(2n+1)>3,n≥2,n∈N
(2cosB)^(2n+1)>(-2cosC)^(2n+1).
所以当n≥2,n∈N时,
(2cosA)^(2n+1)+(2cosB)^(2n+1)+(2cosC)^(2n+1)>3.
即(cosA)^(2n+1)+(cosB)^(2n+1)+(cosC)^(2n+1)>3/2^(2n+1).
综上,不等式(1)成立,证毕.

在△ABC中,a,b,c分别表示三个内角A,B,C的对边,如果（a²+b²）sin(A-B)= 求解这个证明题!在ΔABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)s 在三角形ABC中，a，b，c分别表示三内角A、B、C所对的边的长，且lgsinA，lgsinB，lgsinC成等差数列；在三角形ABC中,三个内角A.B.C对应的边分别为a.b.c,且A.B.C成等差数列,a.b.c成等比数列,证明：三角. 放缩法在△ABC中,证明a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b) 在三角形ABC sin(A-B)/sin(A+B)=（c-b）/c 则三角形中必含有 A.30°内角 B.45°内角 C 在三角形ABC中,三个内角A,B,C成等差数列,则∠B? 在三角形ABC中,角A=3角B,角A-角C=30度,则其最大内角是多少度在△ABC中,a,b,c分别表示三个内角A,B,C的对边,如果（a^2+b^2）·sin(A-B)=(a^2-b^2)· 在△ABC中,A、B、C分别为三角形内角,a、b、c为其所对边,已知2√2*(sin^2A-sin^2C)=(a-b)s 已知锐角三角形ABC的三个内角A,B,C,满足A>B>C,用a表示. 在三角形abc中,已知其三内角a,b,c成等差数列,则cosa乘以cosc的取值范围是