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高数 连续 导数

来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/04 12:42:26
高数 连续 导数
1）由条件,可知 g'(x) 连续,因此
　　　lim(x→0)f(x)
　　= lim(x→0)[g(x)-cosx]/x (0/0)
　　= lim(x→0)[g'(x)+sinx]/1
　　= g'(0),
故若取 a= g'(0),则 f(x) 在 x=0 连续,又……,得知 f(x) 在 (-inf., +inf.) 连续.
　　2）由于
　　　lim(x→0)[f(x)-f(0)]/x
　　= lim(x→0){[g(x)-cosx]/x - g'(0)}/x
　　= lim(x→0){[g(x)-cosx] - g'(0)x}/x^2 (0/0)
　　= lim(x→0){[g'(x)+sinx] - g'(0)}/2x (0/0)
　　= lim(x→0)[g"(x)+cosx]/2
　　= [g"(0)+1]/2,
因此有
　　　f'(x) = [g'(x)+sinx]/x - [g(x)-cosx]/x^2,x≠0,
　 　= [g"(0)+1]/2,x=0.
　　3）易验 f'(x) 在x≠0 是连续的；又
　　 lim(x→0)f‘(x)
　　= lim(x→0){[g'(x)+sinx]/x - [g(x)-cosx]/x^2}
　　= lim(x→0){[g'(x)+sinx]x - [g(x)-cosx]}/x^2 (用罗比达法则)
　　= ……,
……
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