关于双曲线离心率取值范围?

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/13 03:31:30

关于双曲线离心率取值范围?
已知双曲线(X²÷a²)－(y²÷b²)＝1的左右焦点分别为F¹(－C,0),F²(C,0),若双曲线上存在一点P使 sinPF¹F² ÷ sinPF²F¹ ＝a÷c ,则该双曲线的离心率的取值范围是▁▁▁▁▁ （a＞0,b＞0)

由(sinPF1F2)/(sinPF2F1)=a/c,与正弦定理得PF2/PF1=a/c=1/e
所以PF1/PF2=e （1）
据离心率第二定义PF2=PM*e （2） M为P到准线的距离在准线上的交点
将（2）带入（1）得：1+2a/PF2=e (3) 因为P在曲线上,所以当P在曲线与X轴交点时PF2最大此时PF2=a-a^2/c=a(1-1/e) (4)
将(4)带入(3)解得e的最大值1+根号2
因为双曲线有e大于1 所以该双曲线的离心率取值范围是（1,1+根号2)

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