2的p次方加3的p次方等于a的n次方,p为质数,a为正整数,求证n=1

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/28 22:50:14

2^p +3^p =a^n (n>1) 等式左边为奇数,因此a为奇数,令a=2k+1.明显,p=2时,n不可能大1.
显然,a>=5.k>1
因为2^p +3^pn
p>2时：
2^p +3^p =2^p +（2+1)^p 利用二项式定理展开
（1）2^p +（2+1)^p=2^p +2^p +p*2^(p-1)+p*(P-1)/2*2^(p-2)+...[p*(P-1)/2]2^2+p*2+1
=4N+p*2+1
a^n=(2k+1)^n
假如n为偶数,则 a^n必可以写成A^2,则
（2）A^2=(2k+1)^2=4k^2+4k+1
对（1）、（2）同时减去1,再同时除以2
则对于（1）式：[2^p +（2+1)^p-1]/2=2N+p （3）
对于（2）式：[A^2 -1]/2=2k^2+2k （4）
因为p为大于2的质数,因此（3）式为奇数,而（4）式为偶数.二则不可能相等.
因此n不可能为偶数,只能是奇数
(5) a^n=(2k+1)^n 利用二项式定理展开
=(2^n) *(k^n)+n*[2^(n-1)]*[k^(n-1)]+...[n*(n-1)/2]*(2^2)*(k^2)+n*2*k+1
=4M+n*2*k+1
对（5)式减去1,再除以2
得到2M+n*k （6）
如果2^p +3^p =a^n（n>1)成立,必然有（6)式和（3)式相等
2M+n*k =2N+p
由于p为大于2的质数,也是奇数,因此n*k 也是奇数,又n为奇数,因此k也为奇数
令k=2s-1,则a=2k+1=4s-1 s>1
a^n=(4s-1)^n
=(4^n) *(s^n)-n*[4^(n-1)]*[k^(n-1)]+...-[n*(n-1)/2]*(4^2)*(s^2)+n*4*s-1
=16R+n*4*s-1 (7)
2^p +3^p=2^p +(4-1)^p
=2^p +4^p +p*4^(p-1)+p*(P-1)/2*4^(p-2)+...[p*(P-1)/2]4^2+p*4-1
=16N+p*4-1 (8)
对（7）、（8）式同时加上1,再同时除以4
对于（7）式得到：4R+n*s
对于（8）式得到：4N+p
由于n*s为奇数,可见为s奇数
.
继续推导,可以看出,n*s不断逼近p,而s>1,但由于p为质数,因此二者不会相等
因此2^p +3^p =a^n (n>1)不成立,n恒等于1

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