设函数f（x）=a/2x^2-1+cosx (a>0)

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/14 12:43:56

设函数f（x）=a/2x^2-1+cosx (a>0)
当a=1时,证明：函数y=f(x)在(0,+∝)上是单调增函数,
若y=f（x）在(0,正无穷）上是单调增函数求正数a的取值范围?

若a=1,则f(x)=(1/2)x^2-1+cosx
所以f'(x)=x-sinx
要证f(x)在(0,+∝)上是单调增函数
只需证f'(x)=x-sinx在(0,+∝)上恒大于0
令g(x)=x-sinx,则g'(x)=1-cosx…………显然恒大于等于0
所以g(x)为增函数
g(0)=0-0=0,即g(x)=x-sinx在区间(0,+∝)恒大于0
所以f(x)=(1/2)x^2-1+cosx在(0,+∝)上是单调增函数
2）
若f(x)在(0,正无穷)上是单调增函数,则
f(x)'=ax-sinx>=0恒成立,
a>=sinx/x
又g（x）=sinx/x=1
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