已知椭圆C：X^2/a^2+Y^2/b^2=1(a>b>0)经过点(1,根号3/2)一个焦点为(根号3,0)

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/16 23:09:46

已知椭圆C：X^2/a^2+Y^2/b^2=1(a>b>0)经过点(1,根号3/2)一个焦点为(根号3,0)
求椭圆方程
若直线y=k(x-1)(k≠0)与x轴交于点P,与椭圆C交于A,B两点,线段AB的垂直平分线与x轴交于点Q.求|AB|/|PQ|的取值范围

/>⑴由题意得,
e=c/a=2√2⇔c²/a²=(a²−b²)/a²=1/2,
(√6)²/a²+1²/b²=1,
联立解得a²=8,b²=4,c=2
∴该椭圆的标准方程为：x²/8+y²/4=1；
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⑵∵λ=(|AB|+|CD|)/|AB|•|CD|=1/|AB|+1/|CD|,
∴问题等价于求1/|AB|+1/|CD|是否是定值,
椭圆的焦点坐标是(±2,0),不妨取焦点(2,0),
①当直线AB的斜率不存在或等于零时,
|AB|=2a=4√2,代入x=±a得|CD|=√(a²/c)=2,
λ=1/|AB|+1/|CD|=3√2/8,
②当直线AB的斜率存在且不等于零时,
设直线AB的斜率为k,则直线AB的方程是y=k(x-2),
代入椭圆方程,整理得(1+2k²)x²-8k²x+8k²-8=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=-8k²/(1+2k²),x1x2=(8k²−8)(1+2k²),
根据弦长公式,|AB|=√(1+k²)×√[(x1+x2)²−4x1x2]=4√2(1+k²)/(1+2k²),
以-1/k代换k,得|CD|=4√2(1+k²)/(k²+2)
∴λ=1/|AB|+1/|CD|=3(k²+1)/4√2(k²+1)=3√2/8,
综上所述,故存在实数λ=3√2/8,使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|．
【考点】椭圆的标准方程,椭圆的几何性质,直线与椭圆的位置关系以及韦达定理的运用.
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设椭圆C：（x^2/a^2）+（y^2/b^2）=1（a>b>0）经过点A（根号5,根号3）,其右焦点F的坐标为（4,0 已知F1,F2分别为椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的左右两个焦点,椭圆C上的点(1,根号3/2 已知椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1,(a>b>0)的离心率为根号6比3,椭圆短轴的一个的一个端点与两个焦点构已知椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为根号5/3,短轴一个端点到右焦点的距离为3.求椭圆已知椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为根号下6/3,短轴的一个端点到右焦点的距离是根号下设F1 F2为椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的焦点,椭圆上的点A(1,（根号3）/2)到焦点的已知椭圆C:x^2+y^2/m=1的焦点在y轴上,且离心率为根号3/2,过点(0,3)的直线l与椭圆C交与两点A,B. 已知椭圆X^2/a+y^2/b=1的一个焦点是(根号2,0）,且截直线x=根号2所得的弦长为4根号6/3,则椭圆方程为已知椭圆C:A平方分之X平方+B平方之Y平方=1（A大于B大于0）的离心率为2分之根号3短轴端点到焦点的距离为2,已知点已知椭圆X^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>C)的离心率是根号6/3,F是其左焦点,若直线x-根号6y=0与椭圆已知焦点在y轴上的椭圆C1=y^2/a^2+x^2/b^2=1,经过A(1,0),且离心率为根号3/2,求椭圆C1的标准已知椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为2分之根号3,短轴的一个端点到右焦点的距离为2.