（2011•枣庄二模）已知函数f（x）=lnx-12ax2+bx（a＞0），且f′（1）=0

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：综合作业时间：2024/05/17 05:55:41

（2011•枣庄二模）已知函数f（x）=lnx-

（1）f（x）的定义域为（0，+∞），
∵f′（x）=
1
x−ax+b＝0，
∴b=a-1，∴f′（x）=
1
x−ax+a−1＝−
(ax+1)(x−1)
x，
当f′（x）＞0时，得-
(ax+1)(x−1)
x＞0，
∵x＞0，a＞0，解得0＜x＜1，
当f′（x）＜0时，得-
(ax+1)(x−1)
x＞0，∵x＞0，a＞0，解得x＞1，
∴当f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减；
（2）证明：g（a）=f（1）=
a
2−1，f′（x）=−
(ax+1)(x−1)
x（x＞0），
令φ（a）=ln（1+
a
2）-
a
2，则φ′（a）=
−a
2(2+a)＜0，
∴φ（a）在（0，+∞）上是减函数，
∴φ（a）＜φ（0）=0，即ln（1+
a
2）-
a
2＜0，
（3）假设函数f（x）的图象上存在两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），使得AB存在“中值相依切线”，
则k_AB=
y2−y1
x2−x1＝
lnx2−lnx1
x2−x1−
a(x2+x1)
2+a-1，
f′（
x2+x1
2）=
2
x2+x1−
a(x2+x1)
2+a−1，
又k_AB=f′（
x2+x1
2）得
lnx2−lnx1
x2−x1

（2012•蓝山县模拟）已知函数f(x)＝lnx−12ax2+bx（a＞0），且f′（1）=0．已知函数f（x）=ax2+bx-lnx，a，b∈R．已知函数f（x）=x-ax2-lnx（a＞0）．（2012•枣庄二模）已知函数f(x)＝x−ax(a∈R)，g（x）=lnx．已知函数f(x)=ax2(平方)+bx+1(a.b为实数),若f(-1)=0且函数f(x)的值域为[0,+&）(无穷大) 已知二次函数f（x）=ax2+bx+1（a＞0），若f（-1）=0，且对任意实数x均有f（x）≥0成立．且F（x）=f( 已知函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0）,对任意实数x满足f(x+1)=f(1-x),且函数y=f(x)的零点有且只已知二次函数f(x)=ax2+bx（a不等于0）满足条件；f(2)=0且方程f(x)=x有等根, 已知函数f（x）=ax2-bx+1．已知二次函数f（x）=ax2+bx（a,b为常数,且a≠0）满足条件f（1+x）=f（1-x）,且方程f（x）=x有等根已知二次函数f（x）=ax2+bx（a,b为常数,且a≠0）满足条件：f（x+1）=f（1-x）且方程f（x）=x有等根（2014•杭州二模）设f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R），e为自然对数的底数．若f′（x）lnx＞f(x)x