作业帮半正定二次型的充要条件:二次型的矩阵A=C′C
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/28 06:24:16
半正定二次型的充要条件:二次型的矩阵A=C′C
证:充分性.对任意X != 0 (不等于),
有 X'AX = X'(C'C)X = (CX)'(CX) >= 0.(非负性)
所以二次型是半正定的.
必要性.由二次型是半正定的,其标准形为 x1^2+x2^2+...+xr^2.
即对应有正交矩阵P满足 P^(-1)AP = diag(1,1,...,1,0,...,0).
所以 A = Pdiag(1,1,...,1,0,...,0)P^(-1)
由P是正交矩阵,所以 P^(-1) = P'(转置).
令 C = diag(1,1,...,1,0,...,0)P',则
A = Pdiag(1,1,...,1,0,...,0)P^(-1)
= (Pdiag(1,1,...,1,0,...,0))(diag(1,1,...,1,0,...,0)P')
= C'C.
有 X'AX = X'(C'C)X = (CX)'(CX) >= 0.(非负性)
所以二次型是半正定的.
必要性.由二次型是半正定的,其标准形为 x1^2+x2^2+...+xr^2.
即对应有正交矩阵P满足 P^(-1)AP = diag(1,1,...,1,0,...,0).
所以 A = Pdiag(1,1,...,1,0,...,0)P^(-1)
由P是正交矩阵,所以 P^(-1) = P'(转置).
令 C = diag(1,1,...,1,0,...,0)P',则
A = Pdiag(1,1,...,1,0,...,0)P^(-1)
= (Pdiag(1,1,...,1,0,...,0))(diag(1,1,...,1,0,...,0)P')
= C'C.
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