设曲线y=f（x），其中y=f（x）是可导函数，且f（x）＞0．

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/10 05:52:46

设曲线y=f（x），其中y=f（x）是可导函数，且f（x）＞0．
已知曲线y=f（x）与直线y=0，x=1及x=t（t＞1）所围成的曲边梯形，绕x轴旋转一周所得的立体体积值是绕曲边梯形面积值的πt倍，求该曲线方程．

∵曲边梯形的面积为：S＝
∫t1f(x)dx，
旋转体的体积为：V＝π
∫t1f2(x)dx，
则由题可知：V=πtS，
即：π
∫t1f2(x)dx＝πt
∫t1f(x)dx，
化简为：
∫t1f2(x)dx＝t
∫t1f(x)dx，
上式两边对t同时求导，得：
f2(t)＝
∫t1f(x)dx+tf(t)，①，
①式两边继续求导，得：
2f（t）f′（t）=f（t）+tf′（t）+f（t），
化简可得
（2f（t）-t）f′（t）=2f（t）
而：y=f（t）
继续化简得：

dt
dy+
1
2yt＝1，
这是一阶线性微分方程，其中：P(y)＝
1
2y，Q(y)＝1，
解之得：t＝c•y−
1
2+
2
3y，其中C为待定常数
在①式中令t=1，则：f²（1）=0+f（1），
而f（x）＞0，
∴f（1）=1
代入t＝cy−
1
2+
2
3y，得：c＝
1
3，
∴t＝
1
3(
1

y+2y)，
所以该曲线方程为：2y+
1

y−3x＝0．

设f（x）为可导函数,且满足条件lim（x->0）[f(1)-f（1-x）]/2x=1,则曲线y=f（x）在（1,f（x 设f （x ）定义在R上的函数,且对任意x,y∈R,恒有f(x+y)=f(x)f(y),且x＞0时,f(x)＞1证明： 2 设函数F(X）=a㏑x/x+1+b/x,曲线y= f（x）设函数f（x）的定义域为R,当x＞0时,f（x）＞1,且对任意x,y∈R,都有f（x+y）=f(x)*f(y) 设定义在R上的函数f(x）,对任意x,y∈R,有f(x+y)=f(x)·(y),且当x＞0时恒有f(x）＞1 ,若f(1 设函数f（x）=13x3-a2x2+bx+c，其中a＞0．曲线y=f（x）在点P（0，f（0））处的切线方程为y=1．设函数f(x)在定义域（0,+∞）上为增函数,且f(x/y)=f(x)-f(y). 设函数f（x）满足f(0)=1,且对任意x,y属于R,都有f(xy+1)=f(x)乘f(y)减f(y)减x加2.求f(x 设a∈R,函数f（x）=x^x+ae^(-x)的导函数f′（x）,且f′（x）是奇函数,若曲线y=f（x）的一条切线的斜设函数y=f（x）在点x0处有导数,且f'(x0)＞0,则曲线y=f（x）在点（x0,f（x0））处切线的倾斜角的范围是设函数y=f(e^-x)其中f（x）可微,则dy= 设f(x)为可导函数,且满足lim[4+f(1-x)]/2x=-1,x趋于0时,求曲线y=f(x)在点（,f(1)）处的