利用极坐标计算∫∫xydxdy,其中D是第一象限中x²+y²=1与x²+y²=2

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/04/30 03:56:46

利用极坐标计算∫∫xydxdy,其中D是第一象限中x²+y²=1与x²+y²=2x所围成的闭区域.
答案是9/16

x²+y²=1的极坐标方程为：r=1
x²+y²=2x的极坐标方程为：r²=2rcosθ,即r=2cosθ
2cosθ=1,则：cosθ=1/2,θ=π/3
请自己画图
因此两曲线所围区域可分为两部分,
第一部分θ：0-->π/3,r：0-->1
第二部分：θ：π/3-->π/2,r：0-->2cosθ
∫∫xydxdy
=∫∫rcosθ*rsinθ*rdrdθ
=∫[0-->π/3]∫[0-->1] r³cosθsinθ drdθ+∫[π/3-->π/2]∫[0-->2cosθ] r³cosθsinθ drdθ
=∫[0-->π/3]cosθsinθdθ*∫[0-->1] r³dr+∫[π/3-->π/2] cosθsinθdθ∫[0-->2cosθ] r³dr
=1/4∫[0-->π/3]sinθd(sinθ)*r⁴ | [0-->1] + 1/4∫[π/3-->π/2] cosθsinθ*r⁴｜[0-->2cosθ]dθ
=1/8sin²θ |[0-->π/3] + 4∫[π/3-->π/2] cosθsinθ*cos⁴θdθ
=(1/8)(3/4) - 4∫[π/3-->π/2] cos⁵θd(cosθ)
=3/32 - 2/3cos⁶θ |[π/3-->π/2]
=3/32 + (2/3)(1/64)
=9/96 + 1/96
=10/96
=5/48
感觉这个题应该是你的答案错了.

利用极坐标计算∫∫xydxdy,其中D是第一象限中x+y=1与x+y=2x所围成的闭区域. 计算积分∫∫ √y^2-xydxdy,其中D是由直线y=1,y=x,x=0围成的闭区域计算二重积分∫∫xydxdy ,其中积分区域 D是由y=x ,y=1 ,和x=2 所围成的三角形域.D 用极坐标计算积分：∫∫ln（1+x^2+y^2)dxdy,其中D是由圆周x^2+y^2=1与两坐标所围成的位于第一象限内计算二重积分xydxdy其中D是由曲线xy=1,x+y=5/2所围成计算积分：∫∫ln（1+x^2+y^2)dxdy,其中D是由圆周x^2+y^2=1与两坐标所围成的位于第一象限内的闭区请教：计算二重积分∫∫xydxdy,其中D是由x-y=0,x=1及x轴所围成区域计算二重积分I=∫∫xydxdy,期中D:由y=x的平方与y=x围城利用极坐标计算二重积分 ∫∫(x+y)/(x^2+y^2)dxdy,其中D为x^2+y^2=1 算一个高数题目计算∫∫xydxdy,其中D由y=根号x,x+y=2,y=0围成的平面区域我这么化简的∫（下界0上界1）d 计算给定区域的二重积分 ∫∫2xydxdy,D由y=x²+1 y=2x和x=0所围成二重积分高数题二重积分：∫d∫xydxdy D：y=x y=x/2 y=2 所围成的面积计算出来看看