作业帮这道关于复合函数连续性的题,
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/16 11:57:07
这道关于复合函数连续性的题,
答案应该选B,(1)(4)正确.
(1) 这个是书上的定理
(2) 举一个反例：
φ(x)=0,f(x)＝√x (x=0不连续)
f(g(x))=0,始终连续.
(3) 举一个反例：φ(x)=[x],[x]表示小于x的最大整数,
g(x)=0,则 g(φ(x))=0,φ(x)有断点,但g(φ(x))始终=0,连续.
(4) 举一个正例：
定义：φ(x)＝x (当x为有理数)
＝1+x (当x为无理数)
显然φ(x)在任意点都不连续.
定义：f(x)＝1+x (当x为有理数)
＝x (当x为无理数)
显然f(x)在任意点都不连续.
但f(g(x))＝1+x,在任意点都连续.
总结：不连续条件下得不到连续或不连续的定论.
再问： （2）不是太理解，就是： φ(x)=0，f(x)＝√x (x=0不连续) f(g(x))=0，始终连续。-------------这里f(φ(x)）=√φ(x)，他只有φ(x)=0才f也等于0啊，但是φ(x)在f定义域里没意义的啊。
再答： 不好意思，打错了，冒出了g(x). 定义φ(x)=0，x∈R f(x)＝√x (在x=0处不连续) 则f(φ(x))＝0，在x∈R内处处连续。 也就是说虽然f(x)在x=0处不连续， 但f(φ(x))无论x为何值，均有f(φ(x))=0， f(φ(x))的定义域事实上已经拓宽了。 实在不好理解的话，你可以增加f(x)在负数区间的定义，只要让f(x)在x=0处形成间断点就可以， 如增加定义f(x)=-1(x
(1) 这个是书上的定理
(2) 举一个反例：
φ(x)=0,f(x)＝√x (x=0不连续)
f(g(x))=0,始终连续.
(3) 举一个反例：φ(x)=[x],[x]表示小于x的最大整数,
g(x)=0,则 g(φ(x))=0,φ(x)有断点,但g(φ(x))始终=0,连续.
(4) 举一个正例：
定义：φ(x)＝x (当x为有理数)
＝1+x (当x为无理数)
显然φ(x)在任意点都不连续.
定义：f(x)＝1+x (当x为有理数)
＝x (当x为无理数)
显然f(x)在任意点都不连续.
但f(g(x))＝1+x,在任意点都连续.
总结：不连续条件下得不到连续或不连续的定论.
再问： （2）不是太理解，就是： φ(x)=0，f(x)＝√x (x=0不连续) f(g(x))=0，始终连续。-------------这里f(φ(x)）=√φ(x)，他只有φ(x)=0才f也等于0啊，但是φ(x)在f定义域里没意义的啊。
再答： 不好意思，打错了，冒出了g(x). 定义φ(x)=0，x∈R f(x)＝√x (在x=0处不连续) 则f(φ(x))＝0，在x∈R内处处连续。 也就是说虽然f(x)在x=0处不连续， 但f(φ(x))无论x为何值，均有f(φ(x))=0， f(φ(x))的定义域事实上已经拓宽了。 实在不好理解的话，你可以增加f(x)在负数区间的定义，只要让f(x)在x=0处形成间断点就可以， 如增加定义f(x)=-1(x