作业帮抽象代数的"关系"是不是就是二元关系?
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/30 13:14:42
抽象代数的"关系"是不是就是二元关系?
如题,j是 一个关系,那么会不会有多元关系?例如i~
什么样子的概念就能够称为关系呢?感觉这个概念太基本太抽象,无法给出比较具体的定义.
如题,j是 一个关系,那么会不会有多元关系?例如i~
什么样子的概念就能够称为关系呢?感觉这个概念太基本太抽象,无法给出比较具体的定义.
抽象代数中讨论的“关系”一般都是二元关系(binary relation).
若X,Y为集合,G(R)⊆X×Y={(x,y)|x∈X,y∈Y},则可以由此定义一个集合X与Y上的二元关系R=(X,Y,G(R))：(x,y)∈G(R) iff xRy(称“x R-关系于 y”).
其中G(R)称为R的图,是笛卡尔积X×Y的一个子集,也就是说只要(x,y)在G(R)中就称x R-关系于 y.但后来为了简化与抓住本质,很多时候直接定义关系就是X×Y的一个子集R⊆X×Y,也就是把关系与关系的图等价起来了.
一个二元关系R=(X,Y,G(R))还可以看做一个二元函数
R：X×Y→{0,1},R(x,y)=1 iff xRy.可以证明这个定义与关系的图定义是等价的.
当Y=X的时候,R称为“X上的二元关系”,或者简称“X上的关系”.
一个集合上的二元关系例子很多,比如等价关系,偏序关系,全序关系,空关系,全域关系,恒等关系.
-------------------------------------------------------------------
抽象代数中讨论的“关系”一般都是二元关系(binary relation),我见过的关系讨论都是二元关系.感觉就像逻辑学研究得最透彻的还是经典二值逻辑一样,当然后来也出现了多值逻辑的探索和研究,但二值逻辑确实是最基础的.可以去试着模仿二元关系来定义多元关系,不过有没有用就要进一步探索了...
----------------------------------------------------------------
ps：看到你之前“指标集”的问题,其实定义指标集合的目的就是为了更好更方便的描述一个序列的势(基数)以便于讨论这个序列一些性质.
比如如果一个数列为A={a1,a2,...,an},如果我们定义指标集Γ={1,2,...,n},那么A可以写为A={ai}i∈Γ；如果一个数列为B={a1,a2,...,an,...},那么B可以写为B={ai}i∈N；如果一个数列C所包含的元素不是可数的(阿列夫0),而是阿列夫1,那么C可以表述为C={ai}i∈R.指标集的好处在很多地方都有表现,比如选择公理以及选择公理的证明就得益于指标集的引入；还有特征标理论中也有应用,等等.
若X,Y为集合,G(R)⊆X×Y={(x,y)|x∈X,y∈Y},则可以由此定义一个集合X与Y上的二元关系R=(X,Y,G(R))：(x,y)∈G(R) iff xRy(称“x R-关系于 y”).
其中G(R)称为R的图,是笛卡尔积X×Y的一个子集,也就是说只要(x,y)在G(R)中就称x R-关系于 y.但后来为了简化与抓住本质,很多时候直接定义关系就是X×Y的一个子集R⊆X×Y,也就是把关系与关系的图等价起来了.
一个二元关系R=(X,Y,G(R))还可以看做一个二元函数
R：X×Y→{0,1},R(x,y)=1 iff xRy.可以证明这个定义与关系的图定义是等价的.
当Y=X的时候,R称为“X上的二元关系”,或者简称“X上的关系”.
一个集合上的二元关系例子很多,比如等价关系,偏序关系,全序关系,空关系,全域关系,恒等关系.
-------------------------------------------------------------------
抽象代数中讨论的“关系”一般都是二元关系(binary relation),我见过的关系讨论都是二元关系.感觉就像逻辑学研究得最透彻的还是经典二值逻辑一样,当然后来也出现了多值逻辑的探索和研究,但二值逻辑确实是最基础的.可以去试着模仿二元关系来定义多元关系,不过有没有用就要进一步探索了...
----------------------------------------------------------------
ps：看到你之前“指标集”的问题,其实定义指标集合的目的就是为了更好更方便的描述一个序列的势(基数)以便于讨论这个序列一些性质.
比如如果一个数列为A={a1,a2,...,an},如果我们定义指标集Γ={1,2,...,n},那么A可以写为A={ai}i∈Γ；如果一个数列为B={a1,a2,...,an,...},那么B可以写为B={ai}i∈N；如果一个数列C所包含的元素不是可数的(阿列夫0),而是阿列夫1,那么C可以表述为C={ai}i∈R.指标集的好处在很多地方都有表现,比如选择公理以及选择公理的证明就得益于指标集的引入；还有特征标理论中也有应用,等等.