求微分方程的特解 y'-y=cosx x=0,y=0
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/11 03:46:42
求微分方程的特解 y'-y=cosx x=0,y=0
常数变易法:
解一阶非齐次线性微分方程dy/dx+p(x)y=q(x)[q(x)≠0]的时候
先令q(x)=0,解出对应的一阶齐次线性微分方程的通解y=Ce^(-∫p(x)dx);
然后再把这个通解中的C换为u(x),再把做过变换的通解带入原方程解出u(x);于是原一阶非齐次线性微分方程dy/dx+p(x)y=q(x)[q(x)≠0]的通解就是y=u(x)e^(-∫p(x)dx)
y'-y=cosx对应的一阶齐次线性微分方程y'-y=0的通解为
y=Ce^(-∫(-1)dx)=Ce^x
将y=u(x)e^x代入y'-y=cosx,得
(u(x)+u'(x))e^x-u(x)e^x=cosx
u'(x)e^x=cosx
u'(x)=cosx/(e^x)
u(x)=∫cosxe^(-x)dx
=∫e^(-x)d(sinx)
=e^(-x)sinx-∫sinxd(e^(-x))
=sinx/(e^x)+∫sinxe^(-x)dx
=sinx/(e^x)-∫e^(-x)d(cosx)
=sinx/(e^x)-cosx/(e^x)+C1+∫cosxe^(-x)dx
=sinx/(e^x)-cosx/(e^x)+C1+u(x)
∴u(x)=[sinx/(e^x)-cosx/(e^x)+C1]/2=(sinx-cosx)/(2e^x)+C
∴y'-y=cosx的通解是
y=u(x)e^x=(sinx-cosx)e^x/(2e^x)+Ce^x=(sinx-cosx)/2+Ce^x
又x=0,y=0
∴(sin0-cos0)/2+Ce^0=0
C=1/2
∴y'-y=cosx的特解是
y=(sinx-cosx)/2+e^x/2=(sinx-cosx+e^x)/2
解一阶非齐次线性微分方程dy/dx+p(x)y=q(x)[q(x)≠0]的时候
先令q(x)=0,解出对应的一阶齐次线性微分方程的通解y=Ce^(-∫p(x)dx);
然后再把这个通解中的C换为u(x),再把做过变换的通解带入原方程解出u(x);于是原一阶非齐次线性微分方程dy/dx+p(x)y=q(x)[q(x)≠0]的通解就是y=u(x)e^(-∫p(x)dx)
y'-y=cosx对应的一阶齐次线性微分方程y'-y=0的通解为
y=Ce^(-∫(-1)dx)=Ce^x
将y=u(x)e^x代入y'-y=cosx,得
(u(x)+u'(x))e^x-u(x)e^x=cosx
u'(x)e^x=cosx
u'(x)=cosx/(e^x)
u(x)=∫cosxe^(-x)dx
=∫e^(-x)d(sinx)
=e^(-x)sinx-∫sinxd(e^(-x))
=sinx/(e^x)+∫sinxe^(-x)dx
=sinx/(e^x)-∫e^(-x)d(cosx)
=sinx/(e^x)-cosx/(e^x)+C1+∫cosxe^(-x)dx
=sinx/(e^x)-cosx/(e^x)+C1+u(x)
∴u(x)=[sinx/(e^x)-cosx/(e^x)+C1]/2=(sinx-cosx)/(2e^x)+C
∴y'-y=cosx的通解是
y=u(x)e^x=(sinx-cosx)e^x/(2e^x)+Ce^x=(sinx-cosx)/2+Ce^x
又x=0,y=0
∴(sin0-cos0)/2+Ce^0=0
C=1/2
∴y'-y=cosx的特解是
y=(sinx-cosx)/2+e^x/2=(sinx-cosx+e^x)/2
求微分方程的特解 y'-2y/(1-x^2)=x+1 x=0,y=0
求微分方程y'+y/x=sinx适合x=π时y=0的特解
微分方程y'=e^x+y满足条件y(0)=0的特解为
求微分方程y'+2y=e^x满足初始条件y(0)=1/3的特解
x*y''+x*(y')^2-y'=0,当x=2时,y=2,y'=1,求微分方程的特解
设y=e^x是微分方程xy'+p(x)y=x的一个解,求此微分方程满足条件y(ln2)=0的特解
求微分方程 y"-3y'-4y=0 ,y|x=0=0 ,y'|x=0 =-5的通解及特解
求微分方程dy/dx+ycotx=5e^cosx的特解(当x=π/2,y=-4)
y'=e^(y-2x),y丨x=0 =1 微分方程特解
求(x^2+y^2)dx-xydy=0微分方程的通解或特解
求微分方程y''-3y'+2y=2e^x满足y|x=0 =1,dy/dx|x=0 =0的特解
求微分方程(x^2-1)dy+(2xy-cosx)dx=0满足初始条件y(0)=1的特解