求证：形内只有原点这一个格点的格点多边形,和它的相对的格点多边形,面积和为6.（具体说明见问题补充）

求证：形内只有原点这一个格点的格点多边形,和它的相对的格点多边形,面积和为6.（具体说明见问题补充）
由于原题是英文的,我的翻译可能有点别扭,所以再多说明一下.
格点：坐标系内系数为整数的点.
格点多边形的定义：坐标系内所有顶点系数为整数的多边形.
格点多边形的“相对格点多边形”：将原格点多边形形上（包括边上和角上）的所有格点按逆时针方向记下,记为A1,A2,A3,A4,A5...An,记其坐标向量为p1,p2,p3,p4,p5...pn.
令qi=(pi+1)-(pi),例q1=p2-p1,q2=p3-p2.令qn=p1-pn.在坐标系内依次连结q1至qn,可得一新多边形,即为原格点多边形的“相对格点多边形”.
现求证：若以格点多边形形内只有一个格点（原点）,（形上可有其他格点）,则该多边形与其“相对格点多边形”面积和为6.
附注：我现在已可证出相对格点多边形形内也有原点.解此问题可能要用到皮克公式,即A=I+B/2-1.
A：多边形面积
I：多边形形内格点数
B：多边形形上格点数
原多边形为凸多边形

这个多边形是凸的吧,否则没人证的出来的
等等,是也整不出来.
记为A1,A2,A3,A4,A5...An,记其坐标向量为p1,p2,p3,p4,p5...pn.
这一句话问题太大了.
Ai的坐标向量为OAi（箭头实在加不上了,见谅）
qi=(pi+1)-(pi)=OA(i+1)-OAi=OA(i+1)+AiO=AiA(i+1)
好了,我可以用正方形欺负你了：）
A1（1,1）A2（-1,1）A3（-1,-1）A4（1,-1）
q1（-2,0）q2（0,-2）q3（2,0）q4（0,2）
正方形面积为4,q1q2q3q4怎么看怎么比正方形大.
再问： 嗯 是凸多边形。。 注意：A1,A2,A3...An 是原多边形上的所有格点，包括边上的格点。 所以你举的正方形上的格点为 A1(1,1), A2(0,1), A3(-1,1), A4(-1,0), A5(-1,-1), A6(0,-1), A7(1,-1), A8(1,0) 正方形面积是4， q1(-1,0), q2(-1,0), q3(0,-1), q4(0,-1), q5(1,0), q6(1,0), q7(0,1), q8(0,1) 新正方形面积为2 面积和是6
再答： 实在不行只能枚举了。。。 先证三角形，再证四边形。。。直到证多于x（这个东西比12小）边形至少要包含2个格点 除此之外我没想到什么方法 GOT IT! 首先你定义的格点n边形的面积为n/2 如果是边上恰有三个格点的三角形的话结论是不证自明的，由等积变换可以知道相对三角形面积是原三角形的3倍。（图：http://hiphotos.baidu.com/qweytr_1/pic/item/f4dc11fab2fb4316ce17c73720a4462308f7d3a2.jpg 发不上来） {剩下的就可以枚举了，情况不多} 实在不行用公式S=1/2（a1b2-a2b1）（(a1,b1),(a2,b2),(0,0)三点逆时针排列，否则公式前加-号） {各种计算之后知：只需证6=n-（a[i]b[i+2]-a[i+2]b[i]的累加（规定X[n+m]=X[m]））} 现在，对形上的格点数n归纳： 设当n=k（k>=3）时成立，当n=k+1时，可以轻易证出那些对于任意a[n]a[n+2]连线均过原点的情况（这是个平行四边形，面积为2，对这类图形枚举即可，此处从略） 若存在i使a[i]a[i+2]不过原点，则见图http://hiphotos.baidu.com/qweytr_1/pic/item/bbbf48f2d7ca7bcba69e7862be096b63f424a8cd.jpg 从图中显然可以看出：将a[i+1]看作新加入的点 证明6=n-（a[i]b[i+2]-a[i+2]b[i]的累加（规定X[n+m]=X[m]）） 只需证多出来的部分（a[i]a[i+1]a[i+2]=1/2（因为这个小三角形被算了两次）） 由pick公式，证毕：） 写的不太详细，略去部分自己研究吧，能把这道题想明白，乐趣虽不及解出这道题，但也是聊胜于无的
再问： 我已经有答案了，没仔细看你的，不过思路应该是对的。 谢谢。