数形结合当Rt△的直角顶点P要正方形ABCD对角线AC上运动（P与A,C不重合）且一直角边始终过点D,另一直角边与射线B

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/21 06:54:54

数形结合
当Rt△的直角顶点P要正方形ABCD对角线AC上运动（P与A,C不重合）且一直角边始终过点D,另一直角边与射线BC交于点E
(1)如图1,当点E与BC边相交时,1,证明,△PBE为等腰三角形；
（2）写出线段AP,PC与EC之间的等量关系 ,并证明
2,当点E在BC的延长线上时,请完成图2,并判断（1）,（2）结论是否成立?若不成立,写出相应的结论,并证明

1.（1）证明：
∵ □ABCD,AC为对角线,BD为另一条对角线的两个顶点,P为AC上一点
∴ PB=PD
过P做AD的垂线,交AD于G,交BC于F；过P做AB的垂线,交AB于H
∴ ∠AGF=90°
∵四边形ABCD为正方形
∴ ∠DAB=∠CBA=90°,AB=AD
∴ 四边形ABFG为矩形
∴ AG=BF,AB=GF=AD
∵ P为对角线AC上一点
∴ PG=PH
又四边形AHPG的四个角均为直角
∴ 四边形AHPG为正方形
∴ AG=GP
∴ AD-AG=GF-GP
即 PF=GD
又∠GPD+∠GDP=90°,∠GPD+∠FPE=90°
∴ ∠GDP=∠FPE
又∠PFE=∠DGP=90°
∴ △DGP≌△PFE
∴ PD=PE
又PB=PD
∴ PB=PE
∴ △PBE为等腰三角形
（2）AP、PC、EC之间的关系是：PC-AP=（√2）×EC
证明：令正方形ABCD的边长为a,AG=x
∵ AP为正方形AHPG的对角线
∴ 由勾股定理得：AP=√（x^2+x^2）=（√2）x
同样,AC是正方形ABCD的对角线
∴ AC=（√2）a
∴ PC=AC-AP=（√2）a -（√2）x
又△PBE为等腰三角形,PE为底边上的高线
∴ BF=FE,又BF=AG=x
∴ BF=FE=x
∴ EC=BC-（BF+FE）=a - 2x
∵ PC-AP=[（√2）a -（√2）x] - （√2）x = （√2）a -（2√2）x
（√2）×EC=（√2）×(a-2x) = （√2）a -（2√2）x
∴ PC-AP=（√2）×EC
2.图2的作图内容（注：见Hi消息截图,因为这里发图太慢!）
（1）根据图2,可以分析出结论"△PBE为等腰三角形"依旧成立.其证明方法与上题类似,只是辅助线的补加上稍有区别,如图2,“过P做AD的垂线,交AD于G,交BC于F；过P做DC的垂线,交DC于H”,其它的证明过程与上题相同.（注：根据题意,成立的不需要再证明了,故省略）
（2）结论“PC-AP=（√2）×EC”不成立,应该为“PC=AP-（√2）×EC”.
证明：令正方形ABCD的边长为a,FC=x
∵ PC为正方形FCHP的对角线
∴ 由勾股定理得：PC=√（x^2+x^2）=（√2）x
同样,AC是正方形ABCD的对角线
∴ AC=（√2）a
∴ AP=AC-PC=（√2）a -（√2）x
又△PBE为等腰三角形,PE为底边上的高线
∴ BF=FE,又BF=AG=a-x
∴ BF=FE=a-x
∴ EC=FE -FC =a - x-x=a-2x
∵ PC=（√2）x
AP-（√2）EC=[（√2）a -（√2）x] - （√2）（a-2x） = √2x
∴ PC=AP-（√2）×EC

如图，在正方形ABCD中，P是CD上一动点（与C、D不重合），使三角板的直角顶点与P重合，并且一条直角边经过点B，另一条一道初三几何计算题正方形ABCD的边长为4,P是射线CD上的1动点,将三角尺的直角顶点与点P重合,一条直角边始终经过点B 在矩形ABCD中,AB=4,AD=10,三角尺的直角顶点P在AD上滑动时（点P A D不重合）,一直角边始终经过点C,另将一块三角尺放在正方形ABCD中,并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动,一条直角边始终经过点B. 操作：如图，在正方形ABCD中，P是CD上一动点（与C、D不重合），使三角板的直角顶点与点P重合（含30度角的直角三角板需分类讨论操作：正方形ABCD的边长为4,P是直线CD上一动点,将三角形尺的直角顶点与点P重合,一条直角边始终通过点B, 如图,在矩形ABCD中,AB=5,AD=8,直角尺的直角顶点E在AD上滑动时（点E与A,D不重合）一直角边经过点B,另一将一把三角尺放在正方形ABCD上,并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动,直角的一边始终经过点B,另一边与线段DA相交于点如图,平面直角坐标系中,Rt△ABC的斜边AB在y轴的正半轴上,一直角边AC在射线OP上,且顶点A与原点重合,已知AC= 在矩形ABCD中,AB=3 AD=4,将一个直角三角的顶点P放置于对角线AC上,一条直线经过点B,另一条直角边与BC和D 已知边长为1的正方形ABCD中,P是对角线AC上的一个动点（与点A,C不重合）,过点p作PE垂直于PB,PE交射线DC于已知边长为1的正方形ABCD中,P是对角线AC上的一个动点（与点A,C不重合）,过点p作PE垂直于PB,PE交射线DC