用积分求极坐标圆r=4cosθ的面积是多少?

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/17 02:00:12

解法一：极坐标面积公式
面积由于对称性
=2∫[0,π]1/2 r^2 dθ
=∫[0,π](4cosθ)^2 dθ
=4∫[0,π] 2(cosθ)^2 dθ
=4∫[0,π] 1+cos2θ dθ
=4[∫[0,π] 1 dθ+∫[0,π] cos2θ dθ]
=4θ+2sin2θ|[0,π]
=(4π+0)-(0+0)
=4π
解法二：
r=4cosθ
r^2=4rcosθ
x^2+y^2=4x
(x-2)^2+y^2=2^2
是半径为2的圆,面积=πr^2=π*2^2=4π
再问：多谢！请问为什么积分上限是π而不是2π呢？
再答：一样的，我只是利用了对称性原式是 ∫[0,2π]1/2 r^2 dθ 利用cos在[0,π]和[π,2π]上的对称我只算一半乘2而已 =2∫[0,π]1/2 r^2 dθ

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