作业帮等差数列,需具体过程,
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：综合作业 时间：2024/06/01 07:45:01
等差数列,需具体过程,
数列{an}的各项均为正数,a1=1,对任意n∈N+,a（n+1)^2-1=4a(n)[a(n)+1]都成立
①求证：{a（n）+1}为等比数列
②求数列{a（n）}的通项公式
注：（）中均为下标
数列{an}的各项均为正数,a1=1,对任意n∈N+,a（n+1)^2-1=4a(n)[a(n)+1]都成立
①求证：{a（n）+1}为等比数列
②求数列{a（n）}的通项公式
注：（）中均为下标
a[n+1]^2-1=4(a[n][a[n]+1)
a[n+1]^2=4a[n]^2+4a[n]+1=(2a[n]+1)^2
因为 an各项均为正数,所以开方后有：
a[n+1]=2a[n]+1
两边同时加1,就有：
a[n+1]+1=2(a[n]+1)
(a[n+1]+1)/(a[n]+1)=2
所以 {a[n]+1} 是等比数列
其首项是 a1+1=2
那么,我们有：
an+1=2^n
所以 an=2^n-1
a[n+1]^2=4a[n]^2+4a[n]+1=(2a[n]+1)^2
因为 an各项均为正数,所以开方后有：
a[n+1]=2a[n]+1
两边同时加1,就有：
a[n+1]+1=2(a[n]+1)
(a[n+1]+1)/(a[n]+1)=2
所以 {a[n]+1} 是等比数列
其首项是 a1+1=2
那么,我们有：
an+1=2^n
所以 an=2^n-1