作业帮如图，已知⊙O1与⊙O2相交于A，B两点，直线MN⊥AB于A，且分别与⊙O1，⊙O2交于M、N，P为线段MN的中点，又∠
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/18 00:36:08
如图，已知⊙O1与⊙O2相交于A，B两点，直线MN⊥AB于A，且分别与⊙O1，⊙O2交于M、N，P为线段MN的中点，又∠AO1Q1=∠AO2Q2，求证：PQ1=PQ2．
连接MQ1、BQ1、BQ2、NQ2，过点P作PH⊥Q1B于H，如图所示．
则由圆内接四边形的性质可得：
∠Q1MA+∠ABQ1=180°，∠ABQ2+∠ANQ2=180°，∠MAB=∠BQ2N．
由圆周角定理可得：
∠ABQ1=
1
2∠AO1Q1，∠ANQ2=
1
2∠AO2Q2．
∵∠AO1Q1=∠AO2Q2，
∴∠ABQ1=∠ANQ2，
∴∠ABQ2+∠ABQ1=∠ABQ2+∠ANQ2=180°，
∴Q1、B、Q2三点共线．
由圆内接四边形的性质可得：∠ABQ1=∠ANQ2，
∴∠Q1MA+∠ANQ2=∠Q1MA+∠ABQ1=180°，
∴MQ1∥NQ2．
∵AB⊥MN，
∴∠MAB=90°，
∴∠Q1Q2N=∠MAB=90°．
∵PH⊥Q1B，即∠Q1HP=90°，
∴∠Q1HP=∠Q1Q2N，
∴PH∥NQ2，
∴MQ1∥PH∥NQ2．
∵P为线段MN的中点，
∴H为线段Q1Q2的中点，
∴PH垂直平分Q1Q2，
∴PQ1=PQ2．
则由圆内接四边形的性质可得：
∠Q1MA+∠ABQ1=180°，∠ABQ2+∠ANQ2=180°，∠MAB=∠BQ2N．
由圆周角定理可得：
∠ABQ1=
1
2∠AO1Q1，∠ANQ2=
1
2∠AO2Q2．
∵∠AO1Q1=∠AO2Q2，
∴∠ABQ1=∠ANQ2，
∴∠ABQ2+∠ABQ1=∠ABQ2+∠ANQ2=180°，
∴Q1、B、Q2三点共线．
由圆内接四边形的性质可得：∠ABQ1=∠ANQ2，
∴∠Q1MA+∠ANQ2=∠Q1MA+∠ABQ1=180°，
∴MQ1∥NQ2．
∵AB⊥MN，
∴∠MAB=90°，
∴∠Q1Q2N=∠MAB=90°．
∵PH⊥Q1B，即∠Q1HP=90°，
∴∠Q1HP=∠Q1Q2N，
∴PH∥NQ2，
∴MQ1∥PH∥NQ2．
∵P为线段MN的中点，
∴H为线段Q1Q2的中点，
∴PH垂直平分Q1Q2，
∴PQ1=PQ2．
如图，已知：⊙O1与⊙O2是等圆，它们相交于A、B两点，O2在⊙O1上，AC是⊙O2的直径，直线CB交⊙O1于D，E为A
已知：如图，⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，O1在⊙O2上，⊙O2的弦BC切⊙O1于B，延长BO1、CA交于点P、PB与
（2003•湖州）已知如图，⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，点O1在⊙O2上，⊙O2的弦O1C交AB于D，交⊙O1于E．
（2008•赤峰）如图1，两半径为r的等圆⊙O1和⊙O2相交于M，N两点，且⊙O2过点O1．过M点作直线AB垂直于MN，
4、如图,已知⊙O1与⊙O2相交于A,B两点,过A的直线交两圆于C,D两点,G为CD的中点,BG及其延长线交⊙O1,⊙O
已知：如图（1），⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，经过A点的直线分别交⊙O1、⊙O2于C、D两点（C、D不与B重合）．连
如图,已知⊙O1与⊙O2相交于A,B两点.⊙O2过点O1,且AB是⊙O2的直径,若⊙O1的半径为4 求图中阴影部分的面积
如图1，两半径为r的等圆⊙O1和⊙O2相交于M，N两点，且⊙O2过点O1．过M点作直线AB垂直于MN，分别交⊙O1和⊙O
已知:如图,⊙O1和⊙O2相交于点A,B,P为BA延长线上任意一点,且PC,PD与⊙O1和⊙O2分别切于C,D两点.求证
如图,已知：⊙O1与⊙O2相交于点A、B,过点B作CD⊥AB,分别交⊙O1和⊙O2于点C、D,过点B任作一条直线分别E、
（1997•南京）已知：如图，⊙O1与⊙O2外切于点P，A为⊙O1上一点，直线AC切⊙O2于点C，且交⊙O1于点B，AP
如图所示,已知圆O1与圆O2相交于AB两点,过点A的直线分别交圆O1,圆O2于EF两点,过点B