2012安徽名校模拟

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/11 05:13:28

已知椭圆C1：x²/4+y²=1，抛物线C2:x²=4y,过点M（-1,0）的直线l与抛物线C2交于E、F两点，过点E、F分别作抛物线C2的切线l₁、l₂，当l₁垂直于l₂时，求直线l的方程

解题思路：先根据题意设出直线l的方程和点E、F的坐标，然后对抛物线方程进行求导运算，进而得到切线l1，l2的斜率，根据l1⊥l2可得到x1•x2的值，再联立直线l与抛物线方程消去y得到关于x的一元二次方程，进而可表示出两根之积，再结合x1•x2的值可确定k的值，最后将k的值代入到直线方程即可得到答案．
解题过程：
解：由已知，直线l的斜率必存在，设直线l的方程为y=k（x+1），E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），
y＝14x2，∴y′＝12x，
∴切线l₁，l₂的斜率分别为12x1，12x2
当l₁⊥l₂时，12x1•12x2＝−1，即x₁•x₂=-4
由y＝k(x+1)x2＝4y得：x²-4kx-4k=0
∴△=（4k）²-4×（-4k）＞0解得k＜-1或k＞0①
∴x₁•x₂=-4k=-4，即：k=1
此时k=1满足①
∴直线l的方程为x-y+1=0
最终答案：略

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