有理数b、c满足等式b√2+c√3=√[2(根号6)+5]成立,求999b+1011c的值.

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/17 02:00:01

有理数b、c满足等式b√2+c√3=√[2(根号6)+5]成立,求999b+1011c的值.
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两边同时平方,得2b^2+3c^2+2bc√6=5+2√6
因为b,c都是有理数,所以2b^2+3c^2是有理数,2bc√6是无理数
所以2b^2+3c^2=5,2bc√6=2√6
即2b^2+3c^2=5,bc=1
b与c同号,同正或同负,考虑到原始条件（平方前的式子）,知二者同为正数
设b=P/Q,c=M/N,其中P与Q,M与N分别互质,P、Q、M、N都是正整数
由2b^2+3c^2=5得2N^2*P^2+3M^2*Q^2=5N^2*Q^2
N^2能整除2N^2*P^2和5N^2*Q^2,又M与N互质,所以N^2能整除Q^2
Q^2能整除3M^2*Q^2和5N^2*Q^2,又Q与P互质,所以Q^2能整除N^2
由上面两行知P=N
又bc=1,即PM=QN=N^2=Q^2 N与M互素,因此N能整除P,即Q能整除P.而Q与P互素,因此Q=1.所以Q=N=1
2P^2+3M^2=5 所以P=M=1.所以b=c=1,999b+1011c=2010

设a、b、c为有理数且等式a+ √2b+√3c=√（5+2√6）成立,求2a+999b+1001c的值. 已知无论c取什么有理数时,等式2ac+b-6c=7总成立,求a,b的值. A,b,c为有理数,且满足等式a＋根号2b＋根号3c＝根号（5＋2倍根号6）,则2a＋999b＋10 已知有理数a、b、c满足2|a-1|+|3b+6|+|a+b-c|=0,求（4a+3b+c）³的值. 若abc是有理数,且满足等式a+b根号5+c根号7=2-根号5+3根号7,试计算（a-c）的2012次方+b的2013次设a,b是有理数,并且a,b满足等式a+2b+根号2b=-5√2,求a+b的平方根, 已知有有理数a.b.c满足等式3(√a-b )+4√c =16(a≥b,c≥0）,且x=4(√a-b)-3√c,试求整数已知a,b,c满足1\2|a+b|+√(2b+c)+c²+1\4-c=0,求a(b+c)的值若ABC是有理数,且满足等式A+B根号2+C根号3=2-根号2+3根号3,计算（A-C）的2010次方+B的2011次方已知对于x取任意有理数,等式x的立方+ax+b=（x-1）*（x+2）*（x+c）恒成立,求a,b,c. 已知实数a、b、c满足1/2|a-b|+根号2b+c+c²-c+1/4=0,求a(b+c)的值已知a,b,c均为实数,且满足等式√3a+1+|4b-5|+(6c-b)平方=0,求代数式a的三次方+√5b-24/5c