1.3.8 设(X,ρ)是度量空间,M是X中的列紧集,映射f :X → M满足 ρ ( f (x1),f (x2)) <

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/10 23:59:24

1.3.8 设(X,ρ)是度量空间,M是X中的列紧集,映射f :X → M满足 ρ ( f (x1),f (x2)) < ρ ( x1,x2 ) (∀x1,x2∈M,x1 ≠ x2)．求证：f在X中存在唯一的不动点

证明：(1) 首先证明cl(M)是紧集．为此只要证明cl(M)列紧即可．设{ xn }是cl(M)中的点列,则存在M中的点列{ yn }使得ρ ( xn,yn ) < 1/n．因M列紧,故{ yn }有收敛子列{ yn(k)},设yn(k) → u ∈cl(M)．显然{ xn(k)}也是收敛的,并且也收敛于u ∈cl(M)．所以cl(M)是自列紧的,因而是紧集． (2) 令g(x) = ρ ( x,f (x)),则g是X上的连续函数．事实上,由ρ ( f (x1),f (x2)) < ρ ( x1,x2 )可知f :X → M是连续的,因而g也连续．由习题1.3.2知存在x0∈cl(M),使得g(x0) = inf {ρ ( x,f (x)) | x ∈cl(M) }． (3) 若g(x0) > 0,则ρ ( x0,f (x0)) > 0,即x0 ≠ f (x0)．故ρ ( x0,f (x0)) = g(x0) ≤ g( f (x0)) = ρ ( f (x0),f ( f (x0))) < ρ ( x0,f (x0) ),矛盾．所以,必有g(x0) = 0,即ρ ( x0,f (x0)) = 0,因此x0就是f的不动点．

已知映射f:M→N使集合N中的元素y=²与集合M中的元素x对应,要使映射f：M→N是一一映射,那么M,N可以是设集合M={-1,01},N={2,1,0,-1,-2},从M到N的映射f满足条件：对每一个x∈M,是x+f(x)是偶数设集合A=｛1,2｝,则从A到A的映射f满足f(f(x))=f(x)的映射个数是设分段函数f(x)={x2+1,x1},则f[f(-1)]的值是已知集合M是满足下列性质函数f（x）的全体,若函数f（x）的定义域为D,对于任意的X1,X2属于D,有|f（x1）—f（设M是满足下列两个条件的函数f(x)的集合：（1）f(x)的定义域为[-1,1]；(2)若X1,X2∈[-1,1],则∣ 证明:设函数f(x)是单调函数,若f(x1)=f(x2),则x1=x2. 设f(x)是定义在R上单调递减的奇函数,若X1+X2>0,X2+X3>0,X3+X1>0,则f(X1)+f(X2)+f( 设集合M={-1,0,1},N={2,3,4,5,6},映射f:M→N,使对任意x∈M,都有x+f（x）+xf（x）是奇 1.设x1,x2是关于x的一元二次方程x^2-2(m-1)x+m+1=0的两个实根,又y=f（m）=x1^2+x^2,求设映射f:x→-x²+2x是实数集M到实数集N的映射,M=N=R,若对于实数P∈N,在M中不存在元素与之对应设函数y=f(x)(x∈R且x≠-)对定义域内任意的x1,x2恒有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2) 证f(x)是