已知a,b,c满足a^2+b^2+c^2=1的实数,求证|a|+|b|+|c|≥3根号3(b^2·c^2+c^2·a^2
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/06/09 00:24:13
已知a,b,c满足a^2+b^2+c^2=1的实数,求证|a|+|b|+|c|≥3根号3(b^2·c^2+c^2·a^2+a^2·b^2)
求证|a|+|b|+|c|≥3√3(b^2×c^2+c^2×a^2+a^2×b^2)
求证|a|+|b|+|c|≥3√3(b^2×c^2+c^2×a^2+a^2×b^2)
偶的解法漫长复杂,肯定不是标准答案,lz慎入
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题目的样子比较恶心,先改一下,令x=3*a^2,y=3*b^2,z=3*c^2,则题目变成x+y+z=3,x、y、z>=0.求证√x+√y+√z>=xy+yz+zx
不妨设x>=y>=z.设f(x,y,z)=√x+√y+√z-(xy+yz+zx)
下面证明两件事情:(1)f(x,y,z)>=f(x+y/2,x+y/2,z) (2)f(x+y/2,x+y/2,z)>=0
(1)即证明√x+√y+√z-(xy+z(y+x))>=2√((x+y)/2)+√z-((x+y)^2/4+z(y+x))
这等价于(x-y)^2/4>=√(2(x+y))-(√x+√y)=(2(x+y)-(√x+√y)^2)/(√(2(x+y))+(√x+√y))=(√x-√y)^2/(√(2(x+y))+(√x+√y))
两边约去(√x-√y)^2,只要证(√x+√y)^2/4>=1/(√(2(x+y))+(√x+√y))
这就显然成立了,因为由x+y>=3-z>=2知道,左边>=1/2,右边=(x+y)^2/4+z(y+x),把x+y=3-z代入,只要证√(6-2z)+√z>=3(3+2z-z^2)/4.
也就是(z-1)^2/4>=1-(√(6-2z)+√z)/3=(1-√z)/3+(2-√(6-2z))/3=(1-z)/3*(1/(1+√z)-2/(2+√(6-2z)))=(1-z)/3*(2+√(6-2z)-2-2√z)/[(1+√z)(2+√(6-2z))]=2(1-z)^2/[(1+√z)(2+√(6-2z))(√(6-2z)+2√z)]
两边约去(1-z)^2,只要证(1+√z)(2+√(6-2z))(√(6-2z)+2√z)>=8
而lz很容易证明√(6-2z)+2√z>=√6
于是(1+√z)(2+√(6-2z))>=2+√6
这样(1+√z)(2+√(6-2z))(√(6-2z)+2√z)>=(2+√6)√6>8.得证!
至此,(1) (2)都得到证明,于是命题得证
以上的变换比较恶心,但是核心思想是利用√a-√b=(a-b)/(√a+√b)等价变换,汗.对不住lz了
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题目的样子比较恶心,先改一下,令x=3*a^2,y=3*b^2,z=3*c^2,则题目变成x+y+z=3,x、y、z>=0.求证√x+√y+√z>=xy+yz+zx
不妨设x>=y>=z.设f(x,y,z)=√x+√y+√z-(xy+yz+zx)
下面证明两件事情:(1)f(x,y,z)>=f(x+y/2,x+y/2,z) (2)f(x+y/2,x+y/2,z)>=0
(1)即证明√x+√y+√z-(xy+z(y+x))>=2√((x+y)/2)+√z-((x+y)^2/4+z(y+x))
这等价于(x-y)^2/4>=√(2(x+y))-(√x+√y)=(2(x+y)-(√x+√y)^2)/(√(2(x+y))+(√x+√y))=(√x-√y)^2/(√(2(x+y))+(√x+√y))
两边约去(√x-√y)^2,只要证(√x+√y)^2/4>=1/(√(2(x+y))+(√x+√y))
这就显然成立了,因为由x+y>=3-z>=2知道,左边>=1/2,右边=(x+y)^2/4+z(y+x),把x+y=3-z代入,只要证√(6-2z)+√z>=3(3+2z-z^2)/4.
也就是(z-1)^2/4>=1-(√(6-2z)+√z)/3=(1-√z)/3+(2-√(6-2z))/3=(1-z)/3*(1/(1+√z)-2/(2+√(6-2z)))=(1-z)/3*(2+√(6-2z)-2-2√z)/[(1+√z)(2+√(6-2z))]=2(1-z)^2/[(1+√z)(2+√(6-2z))(√(6-2z)+2√z)]
两边约去(1-z)^2,只要证(1+√z)(2+√(6-2z))(√(6-2z)+2√z)>=8
而lz很容易证明√(6-2z)+2√z>=√6
于是(1+√z)(2+√(6-2z))>=2+√6
这样(1+√z)(2+√(6-2z))(√(6-2z)+2√z)>=(2+√6)√6>8.得证!
至此,(1) (2)都得到证明,于是命题得证
以上的变换比较恶心,但是核心思想是利用√a-√b=(a-b)/(√a+√b)等价变换,汗.对不住lz了
已知实数a b c 满足a+b+c=3 求证 (1+a+a^2)(1+b+b^2)(1+c+c^2)>=9(ab+bc+
已知a,b,c是实数,求证a*a+b*b+c*c>=ab+3b+2c
已知实数a、b、c满足1/2|a-b|+根号2b+c+c²-c+1/4=0,求a(b+c)的值
设a,b,c,属于正实数,求证a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b)>=2/3
已知实数a.b.c满足a-b的绝对值= -2根号2b+c-(c-2分之1)的平方,求a(b+c)的值
已知实数a,b,c满足1/2|a-b|+根号2b+c+(c-1/2)的平方=0,求a(b+c)的值;
已知a,b,c为互不相等的实数,且满足(a-c)^2-4(b-a)(c-b)=0求证:2b=a+c
已知非零实数a、b、c满足|2a+b+4|+|3a+2b+c|+|a-b-3c|=0,那么a-b+c=?
已知实数a,b,c满足:|a-b|=-2乘根号2b+c-(c-二分之一)的平方,求a(b+c)的值
已知实数a,b,c满足(2a-b-1)的二次方+绝对值3-b的二次方+根号b-c/b+根号3=0 则a-c/a+c=?
a,b,c属于正实数,已知a/(1+a)+b/(1+b)+c/(1+c)=1,求证:a+b+c大于等于3/2
已知a,b,c是正实数,满足a^2=b(b+c),b^2=c(c+a).证明:1/a+1/b=1/c