作业帮求微分方程y″+y=x+cosx的通解．
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/24 03:12:05
求微分方程y″+y=x+cosx的通解．
微分方程y″+y=x+cosx对应的齐次微分方程为y''+y=0
特征方程为t2+1=0
解得t1=i，t2=-i
故齐次微分方程对应的通解y=C1cosx+C2sinx
因此，微分方程y″+y=x+cosx对应的非齐次微分方程的特解可设为y*=ax+b+x（csinx+dcosx）
y*'=a+csinx+dcosx+cxcosx-dxsinx
y*''=ccosx-dsinx+ccosx-cxsinx-dsinx-dxcosx
将y*，y*'，y*''代入微分方程y″+y=x+cosx消去即可得到：
ax+b+2ccosx-2dsinx=x+cosx
则有：
a=1
b=0
2c=1
-2d=0
即
a=1
b=0
c=
1
2
d=0
所以，非齐次微分方程的特解为y*=x+
1
2xsinx
由于非齐次微分方程的通解=齐次微分方程的通解+非齐次微分方程的特解
所以，微分方程y″+y=x+cosx的通解为y+y*=C1cosx+C2sinx+x+
1
2xsinx．
特征方程为t2+1=0
解得t1=i，t2=-i
故齐次微分方程对应的通解y=C1cosx+C2sinx
因此，微分方程y″+y=x+cosx对应的非齐次微分方程的特解可设为y*=ax+b+x（csinx+dcosx）
y*'=a+csinx+dcosx+cxcosx-dxsinx
y*''=ccosx-dsinx+ccosx-cxsinx-dsinx-dxcosx
将y*，y*'，y*''代入微分方程y″+y=x+cosx消去即可得到：
ax+b+2ccosx-2dsinx=x+cosx
则有：
a=1
b=0
2c=1
-2d=0
即
a=1
b=0
c=
1
2
d=0
所以，非齐次微分方程的特解为y*=x+
1
2xsinx
由于非齐次微分方程的通解=齐次微分方程的通解+非齐次微分方程的特解
所以，微分方程y″+y=x+cosx的通解为y+y*=C1cosx+C2sinx+x+
1
2xsinx．