（2014•天津）设f（x）=x-aex（a∈R），x∈R，已知函数y=f（x）有两个零点x1，x2，且x1＜x2．

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：综合作业时间：2024/05/18 09:12:55

（2014•天津）设f（x）=x-ae^x（a∈R），x∈R，已知函数y=f（x）有两个零点x₁，x₂，且x₁＜x₂．
（Ⅰ）求a的取值范围；
（Ⅱ）证明：

（Ⅰ）∵f（x）=x-ae^x，∴f′（x）=1-ae^x；
下面分两种情况讨论：
①a≤0时，f′（x）＞0在R上恒成立，∴f（x）在R上是增函数，不合题意；
②a＞0时，由f′（x）=0，得x=-lna，当x变化时，f′（x）、f（x）的变化情况如下表：

x（-∞，-lna）-lna（-lna，+∞）
f′（x）+0-
f（x）递增极大值-lna-1递减∴f（x）的单调增区间是（-∞，-lna），减区间是（-lna，+∞）；
∴函数y=f（x）有两个零点等价于如下条件同时成立：
（i）f（-lna）＞0，（ii）存在s₁∈（-∞，-lna），满足f（s₁）＜0，（iii）存在s₂∈（-lna，+∞），满足f（s₂）＜0；
由f（-lna）＞0，即-lna-1＞0，解得0＜a＜e^-1；
取s₁=0，满足s₁∈（-∞，-lna），且f（s₁）=-a＜0，
取s₂=
2
a+ln
2
a，满足s₂∈（-lna，+∞），且f（s₂）=（
2
a-e
2
a）+（ln
2
a-e
2
a）＜0；
∴a的取值范围是（0，e^-1）．
（Ⅱ）证明：由f（x）=x-ae^x=0，得a=
x
ex，设g（x）=
x
ex，由g′（x）=
1-x
ex，得g（x）在（-∞，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
并且，当x∈（-∞，0）时，g（x）≤0，当x∈（0，+∞）时，g（x）≥0，
x₁、x₂满足a=g（x₁），a=g（x₂），a∈（0，e^-1）及g（x）的单调性，可得x₁∈（0，1），x₂∈（1，+∞）；
对于任意的a₁、a₂∈（0，e^-1），设a₁＞a₂，g（X₁）=g（X₂）=a_i，其中0＜X₁＜1＜X₂；
g（Y₁）=g（Y₂）=a₂，其中0＜Y₁＜1＜Y₂；
∵g（x）在（0，1）上是增函数，∴由a₁＞a₂，得g（X_i）＞g（Y_i），可得X₁＞Y₁；类似可得X₂＜Y₂；
又由X、Y＞0，得
X2
X1＜
Y2
X1＜
Y2
Y1；∴
x2
x1随着a的减小而增大；
（Ⅲ）证明：∵x₁=aex1，x₂=aex2，∴lnx₁=lna+x₁，lnx₂=lna+x₂；
∴x₂-x₁=lnx₂-lnx₁=ln

设f（x）=x-ae^x,a属于R,已知函数y=f（x）有两个零点x1,x2,且x1 已知二次函数f(x)=ax²+bx+c,对任意x1,x2∈R,x1＜x2,且f(x1)≠f（x2）,求证：关于已知函数f（x）定义域为｛x|x≠0,x∈R｝｝,对定义域的任意x1,x2都有f(x1乘x2）=f（x1）+f（x2）且已知函数f（x）的定义域是｛x∣x∈R且x≠0｝,对于定义域内的任意x1,x2都有f（x1×x2）=f（x1）+f（x2 设函数y=f（x）（x∈R且x≠0）对定义域内任意的x1x2恒有f（x1 * x2）=f（x1）+f（x2）已知函数f（x）,x∈R,若对于任意实数x1,x2都有f（x1+x2）+f（x1-x2）=2f（x1）f（x2）,试判断函数f(x)的定义域为D=｛x｜x∈R且x≠0﹜且满足对于任意的X1,X2∈D，有f（x1.x2）=f(x1)+f(x2 a属于R,函数f（x）=lnx－ax若f（x）有2个相异零点X1,X2求证X1*X2>e^2 若定义在R上的函数f（x）对任意的x1，x2∈R，都有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）-1成立，且当x＞0时，f 设函数f（x）是定义在R上的增函数,且f(x)0,对于任何X1,X2属于R,都有f(x1+x2)=f(x1)*(x2) 设函数y=f(x)(x∈R且x≠-)对定义域内任意的x1,x2恒有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2) 证f(x)是已知函数f(x)=lgx(x属于R+）若x1,x2属于R+,比较1/2[f(x1)+f(x2)f[(x1+x2)/2]的