x^2/[(x^2+k^2)^4]积分计算

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/12 17:47:26

x^2/[(x^2+k^2)^4]积分计算
积分上下限是正负无穷,积分函数x^2/[(x^2+k^2)^4],对x积分
答案是pi/[16*(K^5)] 求求解过程
不太会打式子,造成阅读困难很抱歉
谢谢啦

（1）先假设k>0.
∫ x^2 / [(x^2+k^2)^4] dx (x＝－∞,+∞)
因为积分函数是偶函数：
＝2 ∫ x^2 / [(x^2+k^2)^4] dx (x＝0,+∞),
令x＝k tg(t)进行换元,t∈[0,π/2)：
＝2 ∫ k^2(tgt)^2 / [(k^2(tgt)^2 + k^2]^4] d(k tgt) (t＝0,π/2),
化简后：
＝2 ∫ [sin(t)]^2 [cos(t)]^4 / k^5 dt (t＝0,π/2)
利用倍角公式：
＝1/4 ∫ [sin(2t)]^2 [cos(2t)+1] / k^5 dt (t＝0,π/2)
＝1/4 ∫ [1－cos(2t)^2] [cos(2t)+1] / k^5 dt (t＝0,π/2)
＝1/4 ∫ [1 + cos(2t)－(cos(2t))^2－(cos(2t))^3] / k^5 dt (t＝0,π/2)
利用倍角公式：
＝1/4 ∫ [1/2 + cos(2t)－cos(4t)/2－(cos(2t))^3] / k^5 dt (t＝0,π/2)
＝1/8 ∫ [1 + 2cos(2t)－cos(4t)－2(cos(2t))^3] / k^5 dt (t＝0,π/2)
＝1/8 ∫ [1 + 2cos(2t)－cos(4t)－2cos(2t)(1－sin(2t)^2) ] / k^5 dt (t＝0,π/2)
＝1/8 ∫ [1 －cos(4t) + 2cos(2t)sin(2t)^2 ] / k^5 dt (t＝0,π/2)
＝1/8 [ t －sin(4t)/4 + sin(2t)^3/3 ] / k^5 dt (t＝0,π/2)
＝1/8 [ π/2 ] / k^5
＝π/(16k^5)

（2）k=0时,不收敛；
k

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