正方形ABCD的中心M(3,0),点A,B位于顶点在原点,开口向右的抛物线上,C、D位于一条斜率为三分之一的直线l上

正方形ABCD的中心M(3,0),点A,B位于顶点在原点,开口向右的抛物线上,C、D位于一条斜率为三分之一的直线l上
求l及抛物线方程.

CD:y=x/3 +b,抛物线为y^2=2px,
设AB的中点是点N(xN,yN)
kCD=kAB=1/3,kMN*kCD=-1,kMN=-3
kAB=(yA-yB)/(xA-xB)
= (yA-yB)/[yA^2/(2p)-yB^2/(2p)]
=2p/(yA+yB)=1/3
yA+yB=6p,设AB的中点是点N(xN,yN)
yN=(yA+yB)/2=3p,
kMN=(yN-0)/(xN-3)=-3,xN=3-p
点N(xN,yN)是(3-p,3p)
直线AB的方程为y-3p=1/3*[x-(3-p)] (1)
把直线CD逆时针旋转45度得到直线CA,
利用到角公式（两条直线的夹角公式）
Tan45°=(kCA-kCD)/(1+kCA*kCD)
1=(kCA- 1/3)/(1+ kCA* 1/3)
解得kCA=2,
直线AC的方程：y-0=2(x-3) (2)
点A 即在直线AB上,又在直线AC上
(1)(2)联立得,x=3+2p,y=4p,A(3+2p,4p)
A在抛物线上,将点A的坐标代入抛物线方程,
(4p)^2=2p(3+2p),p=1/2 ,A(4,2),
抛物线方程y^2=x
点A到CD的距离是点M到CD的距离的2倍.
|4/3 + b-2|/√[(1/3)^2+1]=2|1+b|/√[(1/3)^2+1]
|b-(2/3)|=2|1+b|,两边平方,
27b^2+84b+32=0,(3b+8)(9b+4)=0,b=-8/3,或b=-4/9
直线CD的方程为y=x/3 - 8/3 或 y=x/3 - 4/9
|MN|=√10/2,
当b=-4/9,点M到CD的距离是5√10/6,所以舍去
当b=-8/3,点M到CD的距离是√10/2,等于|MN|,
所以直线CD的方程为y=x/3 - 8/3
下面介绍另一种解法,
直线AB的方程为y=1/3x+m,CD:y=x/3 +b
抛物线为y^2=2px,设AB的中点是点N,
A(x1,y1),B(x2,y2),N(xN,yN)
y=1/3x+m与y^2=2px联立得x^2+(6m-18p)x+9m^2=0
x1+x2=18p-6m,x1*x2=9m^2
y1+y2=1/3(x1+x2)+2m=6p
N(9p-3m,3p),kMN=3p/(9p-3m-3)=-3 (1)
点M到AB的距离等于AB的长度的一半即|AB|/2
|AB|=√[(1/3)^2+1]|x1-x2|
=√[(1/3)^2+1]√[(x1+x2)^2-4x1x2]
= √10*√(36p^2-24pm)
|1+m|/√[(1/3)^2+1]= √10*√(36p^2-24pm)/2 (2)
(1)(2)联立得p=1/2,m=2/3,
|MN|=√10/2,AB 与CD之间距离为√10
√10=|m-b|/√[(1/3)^2+1],b=-8/3,或b=4
当b=4,N（5/2,3/2）关于点M的对称点不满足直线CD的方程,故舍去.
直线CD的方程为y=x/3 - 8/3