作业帮一道和抛物线相关的奥赛题
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/18 05:17:25
一道和抛物线相关的奥赛题
一等边三角形的三个顶点均在抛物线y=x^2上,且其中一边的斜率为2.若三个顶点的横坐标之和为m/n,其中m,n是互质的正整数,求m+n
一等边三角形的三个顶点均在抛物线y=x^2上,且其中一边的斜率为2.若三个顶点的横坐标之和为m/n,其中m,n是互质的正整数,求m+n
【用“参数法”】可设正⊿ABC的三个顶点A(a,a²),B(b,b²),C(c.c²).不妨设边AB的斜率为2,则(a²-b²)/(a-b)=2.∴a+b=2.===>a²+b²=(a+b)²-2ab=4-2ab.∴由“中点坐标公式”可求得,边AB的中点D(1,2-ab).因CD⊥AB.∴直线CD的斜率为-1/2,∴可得(c²+ab-2)/(c-1)=-1/2.===>2c²+2ab+c-5=0.且有(c²+ab-2)²=(c-1)²/4.===>(c²+ab-2)²+(c-1)²=5(c-1)²/4.===>|CD|=(√5)|c-1|/2.又|AB|²=(a-b)²+(a²-b²)²=(a-b)²[1+(a+b)²]=5(a-b)².∴|AB|=(√5)|a-b|.∵⊿ABC为正⊿,∴|AB|/|CD|=2/(√3).===>|c-1|²=3|a-b|²=3[(a+b)²-4ab]=3(4-4ab).===>2ab=[12-(c-1)²]/6.将其代入2c²+2ab+c-5=0中,可得:11c²+8c-19=0.===>c=-19/11,(c=1舍去).再由题设a+b+c=m/n.及a+b=2可得m/n=3/11.∴m=3,n=11.∴m+n=14.