作业帮谁有向量与数的乘积的分配率的证明?
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/04 19:33:33
谁有向量与数的乘积的分配率的证明?
假设a是数,A,B是向量,A=（A1,A2,...,An）,B=（B1,B2,...,Bn）,
按照向量与数的乘法运算以及向量与向量的加法运算的定义,证明如下：
a（A+B）=a（A1+B1,A2+B2,...,An+Bn）
=（a(A1+B1),a(A2+B2),...,a(An+Bn））
=（aA1+aB1,aA2+aB2,...,aAn+aBn）
=（aA1,aA2,...,aAn）+（aB1,aB2,...,aBn）
=a（A1,A2,...,An）+a（B1,B2,...,Bn）
=aA+aB 证毕.
再问： 你的证明已经用到向量的坐标分解式了，可是同济六高数下在讲到分配率的时候，还没有讲向量在直角坐标空间的分解式；它要求用向量与数乘的规定来证明。利用向量相加的平行四边形法则以及中学解析几何【相似三角形各边对应成比例】可以证明。我想知道还有没有其他方法，或者这个证明的标准证明法。
再答： 分三种情况证明：（1）a=0，明显成立。（2）a0同理可证。（3）a>0： 记向量A的始点为o，终点为A1；向量B的始点为o，终点为B1； 记向量aA的始点为o，终点为A2；向量B的始点为o，终点为B2； 记向量A+B=C，C的始点为o，终点为C1；向量aC的始点为o，终点为C21， 利用向量与数乘的规定，成立∣aA∣/∣A∣=a；∣aB∣/∣B∣=a；∣aC∣/∣C∣=a，（当A=O或B=O或C=O的特殊情况，明显成立） 由此可知⊿oA1B1∽⊿oA2B2；⊿oA1C1∽⊿oA2C2；2⊿oB1C1∽⊿oB2C2， 注意到证明a（A+B）=aA+aB 是要证明等式两边的两个向量相等，这只需要两个向量的模相等并且方向相同， 利用以上三角形的相似关系便可推出。
按照向量与数的乘法运算以及向量与向量的加法运算的定义,证明如下：
a（A+B）=a（A1+B1,A2+B2,...,An+Bn）
=（a(A1+B1),a(A2+B2),...,a(An+Bn））
=（aA1+aB1,aA2+aB2,...,aAn+aBn）
=（aA1,aA2,...,aAn）+（aB1,aB2,...,aBn）
=a（A1,A2,...,An）+a（B1,B2,...,Bn）
=aA+aB 证毕.
再问： 你的证明已经用到向量的坐标分解式了，可是同济六高数下在讲到分配率的时候，还没有讲向量在直角坐标空间的分解式；它要求用向量与数乘的规定来证明。利用向量相加的平行四边形法则以及中学解析几何【相似三角形各边对应成比例】可以证明。我想知道还有没有其他方法，或者这个证明的标准证明法。
再答： 分三种情况证明：（1）a=0，明显成立。（2）a0同理可证。（3）a>0： 记向量A的始点为o，终点为A1；向量B的始点为o，终点为B1； 记向量aA的始点为o，终点为A2；向量B的始点为o，终点为B2； 记向量A+B=C，C的始点为o，终点为C1；向量aC的始点为o，终点为C21， 利用向量与数乘的规定，成立∣aA∣/∣A∣=a；∣aB∣/∣B∣=a；∣aC∣/∣C∣=a，（当A=O或B=O或C=O的特殊情况，明显成立） 由此可知⊿oA1B1∽⊿oA2B2；⊿oA1C1∽⊿oA2C2；2⊿oB1C1∽⊿oB2C2， 注意到证明a（A+B）=aA+aB 是要证明等式两边的两个向量相等，这只需要两个向量的模相等并且方向相同， 利用以上三角形的相似关系便可推出。
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