作业帮线性代数证明题!关于方程组有解的充要条件.
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/29 05:13:22
线性代数证明题!关于方程组有解的充要条件.
必要性一般较好证明：
假设AX=B有解,那么B是A的列向量的线性组合,
又知道Y0是AtY=0的解,故Y0和A的列向量正交（即内积为0）,故Y0和A的列向量的线性组合B正交,即
Y0是BtY=0的解向量.
再来证充分性：
因为与A的列向量组正交的向量都与B正交,企图说明B是A的列向量组的线性组合即可.
假设A的列向量组的单位正交基为A1, A2, ..., AN,
那么考察列向量B-a1A1-a2A2-...-aNAN,这里ai = B内积Ai,
与A的列向量组正交,故B-a1A1-a2A2-...-aNAN与B正交,即
(B-a1A1-a2A2-...-aNAN)内积B = 0,
|B|^2 = (a1)^2 + (a2)^2 + ... + (aN)^2, 故B是A的列向量组的线性组合(因为B在扩展基的其他系数为0,否则上述模等式不成立).
假设AX=B有解,那么B是A的列向量的线性组合,
又知道Y0是AtY=0的解,故Y0和A的列向量正交（即内积为0）,故Y0和A的列向量的线性组合B正交,即
Y0是BtY=0的解向量.
再来证充分性：
因为与A的列向量组正交的向量都与B正交,企图说明B是A的列向量组的线性组合即可.
假设A的列向量组的单位正交基为A1, A2, ..., AN,
那么考察列向量B-a1A1-a2A2-...-aNAN,这里ai = B内积Ai,
与A的列向量组正交,故B-a1A1-a2A2-...-aNAN与B正交,即
(B-a1A1-a2A2-...-aNAN)内积B = 0,
|B|^2 = (a1)^2 + (a2)^2 + ... + (aN)^2, 故B是A的列向量组的线性组合(因为B在扩展基的其他系数为0,否则上述模等式不成立).