作业帮一道比较难的不等式求证明!
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/24 01:11:30
一道比较难的不等式求证明!
a^(n/2)+b^(n/2)+c^(n/2)>=3(（a+b+c）/3)^(n/2)
n属于正整数
是一道不等式题里的答案的过程,没法理解,
另附原题：设a,b,c是三角形三边的长,且a+b+c=2S,求证：(a^n)/b+c +(b^n)/a+c +(c^n)/a+b >=((2/3)^(n-2) )* s^(n-1)
a^(n/2)+b^(n/2)+c^(n/2)>=3(（a+b+c）/3)^(n/2)
n属于正整数
是一道不等式题里的答案的过程,没法理解,
另附原题：设a,b,c是三角形三边的长,且a+b+c=2S,求证：(a^n)/b+c +(b^n)/a+c +(c^n)/a+b >=((2/3)^(n-2) )* s^(n-1)
利用3个结论：
（1）切比雪夫不等式：
若 a1 >= a2 >= ...>= an,b1 >= b2 >= ...>= bn
则：n*(a1b1 + a2b2 + ...+ anbn) >= (a1+a2+...+an)(b1+b2+...+bn)
（2）平均不等式：
(a^n + b^n + c^n)/3 >= [ (a + b + c)/3 ]^n
（3）
a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b) >= 3/2
这个先证明一下：
a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b)
= (a+b+c)/(a+b) + (a+b+c)/(b+c) + (a+b+c)/(c+a) - 3
= (a + b + c) * ( 1/(a+b) + 1/(b+c) + 1/(c+a) ) - 3
= 0.5 * (a+b+b+c+c+a)*[ 1/(a+b) + 1/(b+c) + 1/(c+a) ] - 3
>= 0.5 * { 3*[(a+b)(b+c)(c+a)]^1/3 } * { 3*[1/(a+b)*1/(b+c)*1/(c+a)]^1/3 } - 3
= 0.5 * 3 * 3 - 3
= 3/2
原题目的证明如下：
根据a、b、c的对称性,不妨假设 a >= b >= c,则：
1/(b+c) >= 1/(a+c) >= 1/(a+b)
因此：
a^(n-1) >= b^(n-1) >= c^(n-1)
a/(b+c) >= b/(a+c) >= c/(a+b)
根据切比雪夫不等式,有：
a^n/(b+c)+b^n/(a+c)+c^n/(a+b)
= a^(n-1)*(a/(b+c)) + b^(n-1)*(b/(a+c)) + c^(n-1)*(c/(a+b))
>= 1/3 * ( a^(n-1) + b^(n-1) + c^(n-1) ) ( a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b) )
>= [ (a + b + c)/3 ]^(n-1) * ( a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b) )
= (2s/3)^(n-1) * ( a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b) )
>= (2s/3)^(n-1) * 3/2
= (2/3)^(n-2)*s^(n-1)
再问： 证明得确实漂亮，膜拜！！ 其他的理解了，不过(a^n + b^n + c^n)/3 >= [ (a + b + c)/3 ]^n这个怎么证的？ 高一学生，只学过均值不等式，没见过上面这种。。。求大神证明~~ 明白了这个怎么证的，我下面这个问题也可以解决了——a^(n/2)+b^(n/2)+c^(n/2)>=3(（a+b+c）/3)^(n/2) 多谢！
（1）切比雪夫不等式：
若 a1 >= a2 >= ...>= an,b1 >= b2 >= ...>= bn
则：n*(a1b1 + a2b2 + ...+ anbn) >= (a1+a2+...+an)(b1+b2+...+bn)
（2）平均不等式：
(a^n + b^n + c^n)/3 >= [ (a + b + c)/3 ]^n
（3）
a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b) >= 3/2
这个先证明一下：
a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b)
= (a+b+c)/(a+b) + (a+b+c)/(b+c) + (a+b+c)/(c+a) - 3
= (a + b + c) * ( 1/(a+b) + 1/(b+c) + 1/(c+a) ) - 3
= 0.5 * (a+b+b+c+c+a)*[ 1/(a+b) + 1/(b+c) + 1/(c+a) ] - 3
>= 0.5 * { 3*[(a+b)(b+c)(c+a)]^1/3 } * { 3*[1/(a+b)*1/(b+c)*1/(c+a)]^1/3 } - 3
= 0.5 * 3 * 3 - 3
= 3/2
原题目的证明如下：
根据a、b、c的对称性,不妨假设 a >= b >= c,则：
1/(b+c) >= 1/(a+c) >= 1/(a+b)
因此：
a^(n-1) >= b^(n-1) >= c^(n-1)
a/(b+c) >= b/(a+c) >= c/(a+b)
根据切比雪夫不等式,有：
a^n/(b+c)+b^n/(a+c)+c^n/(a+b)
= a^(n-1)*(a/(b+c)) + b^(n-1)*(b/(a+c)) + c^(n-1)*(c/(a+b))
>= 1/3 * ( a^(n-1) + b^(n-1) + c^(n-1) ) ( a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b) )
>= [ (a + b + c)/3 ]^(n-1) * ( a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b) )
= (2s/3)^(n-1) * ( a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b) )
>= (2s/3)^(n-1) * 3/2
= (2/3)^(n-2)*s^(n-1)
再问： 证明得确实漂亮，膜拜！！ 其他的理解了，不过(a^n + b^n + c^n)/3 >= [ (a + b + c)/3 ]^n这个怎么证的？ 高一学生，只学过均值不等式，没见过上面这种。。。求大神证明~~ 明白了这个怎么证的，我下面这个问题也可以解决了——a^(n/2)+b^(n/2)+c^(n/2)>=3(（a+b+c）/3)^(n/2) 多谢！