作业帮已知函数f（x）=sinx3cosx-x（0＜x＜π2）．
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：综合作业 时间：2024/05/18 00:36:17
已知函数f（x）=
| sinx | |||
|
（本小题满分14分）
（Ⅰ）∵f′(x)＝
cosx
3cosx
−sinx(
3cosx
)′
3cos2x
-1=
3cos2x+sin2x
3cosx
3cosx
−1=cos
2
3x+
1
3sin2xcos−
4
3x−1…（3分）
∴f′(
π
4)＝cos
2
3
π
4+
1
3sin2
π
4cos−
4
3
π
4−1＝
2
3
34
−1…（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f′(x)＝cos
2
3x+
1
3sin2xcos−
4
3x−1，其中f（0）=0
令G（x）=f'（x），则G′(x)＝
2
3cos−
1
3x•(−sinx)+
1
3[2sinxcosxcos−
4
3x+sin2x•(−
4
3)•cos−
7
3x•(−sinx)]
=
4
9sin3xcos−
7
3x＞0在x∈(0，
π
2)上恒成立
故G（x）在(0，
π
2)上为增函数，故f′（x）＞f′（0）=0，…（8分）
所以f（x）在(0，
π
2)上为增函数，故f（x）＞f（0）=0，
即sin3x＞x3cosx，…（10分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知sin3x-x3cosx＞0在x∈(0，
π
4]上恒成立．
则g′（x）=
2(sin3x−x3cosx)
x3sin3x＞0在x∈(0，
π
4]上恒成立． …（12分）
即g（x）在x∈(0，
π
4]单调递增
于是g(x)max＝g(
π
4)＝2−
16
π2…（14分）
（Ⅰ）∵f′(x)＝
cosx
3cosx
−sinx(
3cosx
)′
3cos2x
-1=
3cos2x+sin2x
3cosx
3cosx
−1=cos
2
3x+
1
3sin2xcos−
4
3x−1…（3分）
∴f′(
π
4)＝cos
2
3
π
4+
1
3sin2
π
4cos−
4
3
π
4−1＝
2
3
34
−1…（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f′(x)＝cos
2
3x+
1
3sin2xcos−
4
3x−1，其中f（0）=0
令G（x）=f'（x），则G′(x)＝
2
3cos−
1
3x•(−sinx)+
1
3[2sinxcosxcos−
4
3x+sin2x•(−
4
3)•cos−
7
3x•(−sinx)]
=
4
9sin3xcos−
7
3x＞0在x∈(0，
π
2)上恒成立
故G（x）在(0，
π
2)上为增函数，故f′（x）＞f′（0）=0，…（8分）
所以f（x）在(0，
π
2)上为增函数，故f（x）＞f（0）=0，
即sin3x＞x3cosx，…（10分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知sin3x-x3cosx＞0在x∈(0，
π
4]上恒成立．
则g′（x）=
2(sin3x−x3cosx)
x3sin3x＞0在x∈(0，
π
4]上恒成立． …（12分）
即g（x）在x∈(0，
π
4]单调递增
于是g(x)max＝g(
π
4)＝2−
16
π2…（14分）
已知函数f（x）=x|x-2|．
已知函数f（x）=|x|x+2．
已知函数f（x）=x(x+4)，x≥0x(x-4)，x＜0，则f（a+1）= ___ ．
已知分段函数f（x）={2x+1,x≥0, x²-2,x＜0.
已知函数f（x）=3x+2，x＜1x
已知函数f（x）={x（1-x）,x＞0 o,x=0 x（x+1）,x＜0 }判断函数的奇偶性
已知函数fx=x²+4x （ x大于等于0） 4x-x²（x＜0） 若f（2-a²）-f（
已知函数f（x）=2x-1 g（x）={x²,x≥0 } （分段函数） -1,x＜0
已知函数g（x）=x²-2,f（x）=【g（x）+x+4,x＜ g（x） 【g（x）-x
已知函数f(x)={（-x²+2x,x＞0）,（0,x=0）,（x²+mx,x＜0)},是奇函数.
已知函数f（x）=①-x²+2x,x＞0②0,x=0③x²+mx,x＜0是奇函数
已知函数f（x）=x-x-1．