∫ (3x+1)dx/[x*√(x^2 + 2x)] 怎么积

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/25 08:39:43

∫ (3x+1)dx/[x*√(x^2 + 2x)] 怎么积
把原式分成了两部分积分前一部分是∫[3dx/(x^2 + 2x)^0.5 ] 积出来是 3lnl(x^2+2x)^0.5+x+1l
后面一部分是 ∫(dx/[x*(x^2 + 2x)^0.5]) 这部分积的时候要注意什么我老做不出来

√(x^2 + 2x) = √[ (x+1)^2 -1] ,换元,令 x-1 = sec t ,√(x^2 + 2x) =tan t
d x = sect tant dt ,代入并化简,原积分化为
∫（3 sect -2) sect / (sect -1) dt
= ∫（3 sect+1) dt +∫1/ (sect -1) dt
= 3 ln (sect + tant ) + t + ∫(sect+1) / tan^2 t dt
= 3 ln (sect + tant ) + t + ∫( cot^2 t + csc t cot t ) dt
= 3 ln (sect + tant ) + t - cot t - t - csc t + C
= 3 ln ( x+1 + √(x^2 + 2x) ) - (x+2) /√(x^2 + 2x) + C
注：cot t = 1 /√(x^2 + 2x) ,csc t = (x+1) /√(x^2 + 2x)
另外,不同方法可得出不同原函数,只要验证其导数等于被积函数 OK.
本题,比较难.用换元法较好.
再问：谢谢你啊回答得这么细致不过有地方不懂也是算了好久验算不出来 ∫1/ (sect -1) dt 怎么变成下面那式的? ∫(sect+1) / tan^2 t dt
再答：分子分母同时乘以 (sect+1) ，利用三角函数公式 sec^2 t-1 = tan^2 t

∫x√(1+2x)dx ∫(1-x)^2/x^3 dx ∫(x-1)^2/x^3 dx ∫x^3/1+x^2 dx ∫(X^3)/(1+X^2)dx 请问∫(x+1)/√(3+4x-4x^2)dx怎么计算? 不定积分习题 ∫dx/(a^2+x^2)^2怎么做 ∫√x^2-4 dx ∫dx/[1+x^(1/3)*]x ^(1/2 x-9/[(根号)x]+3 dx ∫ x+1/[(根号)x] dx ∫ [（3-x^2）]^2 dx ∫(3x^4+x^2)/(x^2+1)dx ∫(3x+2)/(x(x+1)^3)dx 求不定积分∫(x^2-3x)/(x+1)dx ∫[(x^2-x+6)/(x^3+3x)]dx