（2014•东海县一模）在平面直角坐标系xOy中，已知A（-2，0），B（2，0），AC⊥AB于点A，AC=2，BD⊥A

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：综合作业时间：2024/05/21 19:39:42

（2014•东海县一模）在平面直角坐标系xOy中，已知A（-2，0），B（2，0），AC⊥AB于点A，AC=2，BD⊥AB于点B，BD=6，以AB为直径的半圆O上有一动点P（不与A、B两点重合），连接PD、PC，我们把由五条线段AB、BD、DP、PC、CA所组成的封闭图形ABDPC叫做点P的关联图形，如图1所示．
（1）如图2，当P运动到半圆O与y轴的交点位置时，求点P的关联图形的面积．
（2）如图3，连接CD、OC、OD，判断△OCD的形状，并加以证明．
（3）当点P运动到什么位置时，点P的关联图形的面积最大，简要说明理由，并求面积的最大值．

（1）∵A（-2，0），
∴OA=2，
∵P是半圆O上的点，P在y轴上，
∴OP=2，∠AOP=90°，
∴AC=2，
∴四边形AOPC是正方形，
∴正方形的面积是4，
又∵BD⊥AB，BD=6，
∴梯形OPDB的面积=
(OP+DB)×OB
2=
(2+6)×2
2=8，
∴点P的关联图形的面积是12．
（2）判断△OCD是直角三角形．
证明：延长CP交BD于点F，则四边形ACFB为矩形，
∴CF=DF=4，∠DCF=45°，
∴∠OCD=90°，
∴OC⊥CD，
∴△OCD是直角三角形．
（3）连接OC交半圆O于点P，则点P即为所确定的点的位置．
理由如下：连接CD，梯形ACDB的面积=
(AC+DB)×AB
2=
(2+6)×4
2=16为定值，

要使点P的关联图形的面积最大，就要使△PCD的面积最小，
∵CD为定长，
∴P到CD的距离就要最小，
连接OC，设交半圆O于点P，
∵AC⊥OA，AC=OA，
∴∠AOC=45°，过C作CF⊥BD于F，则ACFB为矩形，
∴CF=DF=4，∠DCF=45°，
∴OC⊥CD，OC=2
2，
∴PC在半圆外，设在半圆O上的任意一点P′到CD的距离为P′H，则P′H+P′O＞OH＞OC，
∵OC=PC+OP，
∴P′H＞PC，
∴当点P运动到半圆O与OC的交点位置时，点P的关联图形的面积最大．
∵CD=4
2，CP=2
2-2，
∴△PCD的面积=
(AC+DB)×AB
2=
(2+6)×4
2=16，
∴点P的关联图形的最大面积是梯形ACDB的面积-△PCD的面积=16-（8-4
2）=8+4
2．