作业帮证明题,关于反三角函数及其导函数的,求证步骤完美的话有加分^.^
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/22 14:29:30
证明题,关于反三角函数及其导函数的,求证步骤完美的话有加分^.^
已知,f(x)=arctan(x)
函数满足,（x^2+1）*f'(x)=1
求证(x^2+1)f^(k+1)(x)+2kxf^(k)(x)+k(k-1)f^(k-1)(x)=0
k=1,2......k不等于0
已知,f(x)=arctan(x)
函数满足,（x^2+1）*f'(x)=1
求证(x^2+1)f^(k+1)(x)+2kxf^(k)(x)+k(k-1)f^(k-1)(x)=0
k=1,2......k不等于0
用数学归纳法可证.
当n = 1时,对(x^2+1)*f'(x)=1求导,得
(x^2+1)*f"(x)+2x f'(x) = 0,
命题成立.
设n = k 时,命题成立,即
(x^2+1)f^(k+1)(x)+2kxf^(k)(x)+k(k-1)f^(k-1)(x) = 0,
则n = k+1 时,对上式再求一次导数,得
…………
(x^2+1)f^(k+2)(x)+2(k+1)xf^(k+1)(x)+(k+1)kf^(k)(x) = 0,
依归纳法原理,命题得证.
当n = 1时,对(x^2+1)*f'(x)=1求导,得
(x^2+1)*f"(x)+2x f'(x) = 0,
命题成立.
设n = k 时,命题成立,即
(x^2+1)f^(k+1)(x)+2kxf^(k)(x)+k(k-1)f^(k-1)(x) = 0,
则n = k+1 时,对上式再求一次导数,得
…………
(x^2+1)f^(k+2)(x)+2(k+1)xf^(k+1)(x)+(k+1)kf^(k)(x) = 0,
依归纳法原理,命题得证.